§ 1. Случайные события

Окружающий нас мир пронизан явлениями, которые носят случайный

характер. Мы встречаемся с ними, наблюдая состояние атмосферы, физиче

ские эксперименты, производственные процессы, изучая общественно-поли

тическую ситуацию и т. д. Результаты многих наблюдений нельзя предска

зать однозначно. Предположим, в 10 часов в Твери пошел дождь. Утвержде

ние «в 11 часов дождь кончится» может оказаться либо верным, либо нет.

То же самое можно сказать о прогнозе на следующий день уровня радиа

ции, курса доллара, популярности мэра, количества дорожно-транспортных

происшествий.

Допустим, что, исходя из каких-то соображений, мы прогнозируем на

завтра 12 дорожно-транспортных происшествий на улицах нашего города.

Это событие либо произойдёт, либо нет. Дело в том, что ситуация на доро

гах зависит от большого количества факторов и учесть влияние каждого из

них заранее невозможно (погода, видимость, направление и сила ветра, са

мочувствие водителей и пешеходов, количество транспорта на трассе и т. д.)

Поэтому не исключено, что число происшествий окажется не 12, а, напри

мер, 10, 8 или 15. Каждый такой факт является случайным событием.

В теории вероятностей, как и в других математических теориях, для опи

сания математических понятий используются слова русского языка. В рус

ском языке слово «опыт» подразумевает протяжённость во времени (напри

мер, «жизненный опыт» или «опыт накапливается годами») Слово «испы

тание» подразумевает разовость, однократность. Слово «событие» подразу

1

Якоб Бернулли (1654–1705) — швейцарский математик.

2

Пьер Симон Лаплас (1749–1827) — французский математик, физик и астроном.

3

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) — немецкий математик, астроном и физик.

4

Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1990) — российский математик, внёсший ве

сомый вклад во многие разделы математики, в особенности в теорию функций и теорию

вероятностей.

148 Глава VI. Понятие вероятности

мевает появление чего-то заранее ожидаемого. Наряду с термином «опыт»

употребляется его синоним латинского происхождения — «эксперимент».

Будем считать, что все наблюдаемые события являются результатом

некоторых опытов, то есть действий, совершаемых при определённых усло

виях. Пусть опыт состоит в однократном или многократном бросании мо

неты на гладкий достаточно большой горизонтальный стол. У каждого ис

пытания в нашем примере возможны два исхода — выпадение орла или

выпадение решки. Эти исходы называются событиями.

Различают три вида событий: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют такое событие, которое обязательно происходит

при каждом испытании. Невозможным называют событие, которое заве

домо не может произойти ни при одном испытании. Случайным называют

событие, которое в данном испытании может произойти, а может и не про

изойти.

Пример 1.1. В урне имеются шары синего и красного цвета. Испытание

состоит в том, что наугад вынимают один шар. Событие «вынут либо синий,

либо красный шар» — достоверное. События «вынут шар красного цвета»

или «вынут шар синего цвета» являются случайными. Событие, состоящее

в том, что вынутый шар является одновременно и красным, и синим, —

невозможное.

Пример 1.2. Стрелок производит один выстрел по мишени, разделённой

на 10 зон. Выстрел — это испытание; попадание в определённую зону, на

пример, в «десятку» — событие; событие, состоящее в том, что мишень

либо поражена, либо не поражена — достоверное событие; поражение од

ним выстрелом сразу трёх зон — невозможное событие (если пуля попадает

на границу зон, то считается поражённой только одна зона).

Случайные события будем обозначать буквами A, B, C, . . . ; достовер

ное событие — греческой прописной буквой Ω; невозможное событие —

символом ∅.

Определение 1.1. Случайные события A1 , A2 , . . . , An называются несов

местными, если появление одного из них исключает появление других в

одном и том же испытании.

Пример 1.3. При одном бросании монеты выпадает либо орёл (событие A),

либо решка (событие B). События A и B несовместны.

В примере 1.2 обозначим через A1 , A2 , . . . , A10 события, состоящие,

соответственно, в поражении первой, второй, . . . , десятой зоны. Посколь

ку при попадании в границу двух зон судья всегда делает выбор в пользу

какой-нибудь одной из них, то события A1 , A2 , . . . , A10 можно считать

несовместными.

Определение 1.2. События A1 , A2 , . . . , An называются единственно

возможными, если в результате испытания происходит какое-либо одно из

этих и только этих событий.