§ 7. Формула бинома Ньютона 143

Пример 6.5. В Брюкове живут добрые и жалостливые люди. Однажды,

выходя из храма, благочестивый брюковец увидел на паперти 7 нищих из

Дрюкова. Он дал им на всех два гривенника. Сколькими способами нищие

могут распределить эти монеты?

Решение. Очевидны 2 варианта делёжки. Первый заключается в том, что

два счастливчика получают по монете, а остальным не достаётся ничего.

Число способов такого дележа C7 = 7·6 = 21. При втором варианте оба

2

1·2

гривенника забирает один нищий. Таких вариантов всего столько, сколько

нищих, то есть 7. Таким образом, всего существует 28 способов дележа.

В последнем примере мы нашли число всех сочетаний с повторениями

из 7 по 2. Сочетания с повторениями называются так потому, что в каждом

сочетании один и тот же элемент может повторяться несколько раз. Такое

сочетание возникло при втором варианте дележа, когда оба гривенника до

стались одному нищему. В этом случае получается пара, которую нищий

образует сам с собой. Если каждому нищему приписать номер, то это будут

пары вида (1,1), (2,2) и т. д.

Упражнения

1. В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выбрать 6 делегатов для переговоров

с администрацией института о продаже пива в студенческом буфете?

2. Сколькими способами можно поставить три пешки на белые клетки шахматной доски?

3. Для участия в соревнованиях тренер отбирает 5 спортсменов из двенадцати. Сколькими

способами он может составить команду?

4. На окружности выбрано 7 точек. Сколько можно построить треугольников с вершинами в

этих точках?

5. На карточке спортлото 36 клеток. Играющий должен зачеркнуть 4 клетки. Каково число

всех возможных вариантов?

§ 7. Формула бинома Ньютона

Из школы вам известны формулы квадрата и куба суммы двух чисел:

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b 2 и (a + b) 3 = a3 + 3a2 b + 3ab 2 + b 3 . Формулой

бинома Ньютона2 называют формулу возведения в степень n суммы двух

слагаемых. Общий вид этой формулы был известен задолго до Ньютона ма

тематикам Древнего Востока. Имя Ньютона эта формула получила потому,

что Ньютон распространил её на случай любого действительного показателя

степени двучлена a + b. Иными словами, Ньютон объяснил современникам,

√

как вычислять выражения (a + b) 1/2 , (a + b) 3 , (a + b) −4 и т. п.

Теорема 7.1. Для любого натурального числа n имеет место фор

мула

(a + b) n = an + Cn an−1 b + Cn an−2 b 2 + . . . + Cn ab n−1 + b n .

1 2 n−1

(9)

2

Исаак Ньютон (1643–1727) — английский математик, механик и астроном.

144 Глава V. Комбинаторные задачи

Доказательство. Заметим, что по определению степени

(a + b) n = (a + b) (a + b) · . . . · (a + b).

Раскрыв в правой части скобки, получим некоторое число слагаемых, каж

дое из которых представляет собой произведение n сомножителей, взятых

по одному из каждой скобки. Какой вид имеют эти слагаемые? Например,

если мы возьмём из каждой скобки первое слагаемое, то в результате умно

жения получится an . Если взять из одной скобки b, а из всех остальных

взять a, то получим an−1 b. В общем случае, выбрав k раз множитель b и

остальные n−k раз — множитель a, мы получим одночлен an−k b k . Наконец,

когда все выбранные множители равны b, то произведение равно b n .

Одночлен an получится только один раз – когда все множители равны a,

а произведений an−1 b будет столько, сколькими способами можно выбрать

из n скобок множитель b. Понятно, что число таких способов равно числу

скобок, то есть n. Поэтому после приведения всех подобных членов у одно

члена an−1 b появится коэффициент n. Поскольку n = Cn , то этот одночлен

1

можно записать в виде Cn 1 an−1 b.

Это рассуждение можно применить для определения коэффициента у

любого одночлена. Рассмотрим, например, произведение an−k b k . Таких про

изведений будет столько, сколько существует способов выбрать k сомножи

телей b из n скобок. Но число всех способов выполнения такой операции,

как мы знаем, равно числу всех сочетаний из n элементов по k, то есть Cn . k

Следовательно, произведений вида an−k b k имеется всего Cn . После приве

k

дения подобных членов получится выражение Cn k an−k b k .

При k = 0 получим Cn an−0 b 0 = an , при k = 1 — Cn an−1 b, при k = 2 —

0 1

Cn an−2 b 2 , и так далее. Наконец, при k = n мы получим последнее слагаемое

2

Cnn an−n b n = b n . В итоге получается формула (9) и теорема доказана.

Формула (9), как уже было сказано, называется формулой бинома Нью

тона. Коэффициентами одночленов, записанных в её правой части, оказа

k

лись числа Cn , поэтому их называют также биномиальными коэффициен

тами. Выражение Cn an−k b k называется общим членом бинома Ньютона.

k

Мы видели, что все члены бинома получатся из формулы (9), если по

лагать в ней последовательно k = 0, 1, 2, 3, . . . , n. Следовательно, правая

часть формулы (9) содержит n + 1 слагаемых. Используя обозначение сум

мы , формулу бинома Ньютона можно кратко записать так:

n

(a + b) n = Cn an−k b k .

k

(10)

k=0

Пример 7.1. Напишите формулу бинома Ньютона при n = 4.

Решение. Положим в формуле (9) n = 4:

(a + b) 4 = a4 + C4 a3 b + C4 a2 b 2 + C4 ab 3 + b 4 .

1 2 3