§ 6. Сочетания

Пример 6.1. Суд присяжных города Брюкова приговорил гражданина N

за сокрытие доходов к тюремному заключению на семь лет. Этот приговор

вынесен в соответствии с законом города Брюкова, согласно которому об

виняемый по данной статье (самая суровая статья УК в Брюкове!) получает

столько лет, сколько присяжных решат, что он виновен. Каково число всех

возможных вариантов голосования присяжных, если их всего 10?

Решение. За приговор проголосовали 7 из десяти присяжных. Мы долж

ны найти число всех возможных групп из семи присяжных. Здесь порядок

§ 6. Сочетания 141

выбора не играет никакой роли, поэтому рассматриваемые комбинации от

личаются одна от другой только составом лиц. Комбинации такого типа

называются сочетаниями.

Определение 6.1. Сочетанием из n элементов по k называется всякая

совокупность k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n

k

элементов. Число сочетаний из n элементов по k обозначается Cn .

Теорема 6.1. Число всех сочетаний из n элементов по k вычисляется

по формуле

k n(n − 1) (n − 2) · . . . · (n − k + 1)

Cn = . (6)

1 · 2 · 3 · ... · k

Доказательство. Опишем процедуру, которая позволяет получить любое

размещение из n элементов по k. Возьмём какое-нибудь сочетание из n

элементов по k:

(a, b, c, . . . , f) .

k букв

Переставляя эти элементы всевозможными способами, получим k! всех

размещений из n по k одного и того же состава. Таким образом, из одно

k

го сочетания получается k! размещений. Следовательно, из Cn сочетаний

получится Cn k! размещений, то есть Ak = Cn · k!. Отсюда, учитывая форму

k

n

k

лу для числа размещений (формула (5) предыдущего параграфа), получаем

формулу (6).

7

В примере 6.1 нужно найти C10 . По формуле (6) получаем:

7 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4

C10 = = 120.

1·2·3·4·5·6·7

Заметим, что формулы, по которым вычисляется число размещений или

сочетаний, допускают более широкое толкование. Поскольку по определе

нию 0! = 1, то A0 = 1, Cn = 1 и Cn = 1.

n

0 n

k

Числа Cn обладают многими важными свойствами. Некоторые из них

понадобятся нам в дальнейшем. Докажем, что

k n−k

Cn = Cn . (7)

Действительно, если из n элементов выбрать какие-то k элементов, то оста

нется n − k элементов. Следовательно, каждому сочетанию из n элементов

по k соответствует определённое сочетание из n элементов по n−k. Поэтому

их число одинаково и формула (7) верна.

Формулу (6) для числа сочетаний можно переписать в виде

k n!

Cn = , (8)

k!(n − k)!

142 Глава V. Комбинаторные задачи

k Ak

n

так как в ходе доказательства теоремы было получено равенство Cn = ,

k!

n!

а в §5 мы установили, что Ak =

n .

(n − k)!

k+1

Если написать формулу (6) для числа сочетаний Cn , то можно увидеть,

k равенством

что оно связано с числом Cn

k+1 n−k k

Cn = C .

k+1 n

k

Эта формула позволяет последовательно вычислять числа Cn . Зная, что

0 1 n 0

Cn = 1, подставим k = 0 в эту формулу и найдём Cn = · Cn = n. Положив

1

2 = n(n − 1) , и т. д.

далее k = 1, получим Cn

2

Следующее свойство носит имя Паскаля1 :

k k k−1

Cn+1 = Cn + Cn .

Доказательство этой формулы можно провести непосредственным вычисле

нием, используя формулу (6) или (8). Сделайте это самостоятельно.

Пример 6.2. Сколько различных произведений по три различных множи

теля в каждом можно составить из чисел 2, 3, 5, 7, 9?

Решение. Поскольку произведение не зависит от порядка сомножителей,

то число всевозможных произведений будет

3 5·4·3

C5 = = 10.

1·2·3

Пример 6.3. На плоскости дано 20 точек, причём никакие 3 из них не ле

жат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Сколько

всего получилось прямых?

Решение. Через две точки проходит одна и только одна прямая. Каждая

пара точек является сочетанием из 20 точек по две. Следовательно, число

2 20 · 19

всех прямых равно C20 = = 190.

1·2

Пример 6.4. В состав жюри входят 7 судей. Какие-либо 4 из них всегда

ставят высший балл, остальные на один балл ниже. Каково число возмож

ных вариантов голосования?

Решение. Каждый вариант голосования определяется четвёркой судей, по

ставивших высший балл, то есть представляет собой сочетание из семи су

дей по четыре. Отсюда следует, что число всех вариантов голосования будет

4 7−4 3 7·6·5

C7 = C7 = C7 = = 35.

1·2·3

1

Блез Паскаль (1623–1662) — французский математик, физик и философ. Занимался

геометрией, дифференциальным и интегральным исчислением. В его переписке с П. Ферма

были впервые научно обоснованы начала комбинаторики и теории вероятностей.