§ 5. Размещения

Пример 5.1. Однажды утром по улицам города Дрюкова на высокой ско

рости пронеслась машина. Она сбила зазевавшегося поросенка и скрылась

в неизвестном направлении. Возвращавшийся из ресторана житель N заме

тил номер автомобиля. Но когда появилась милиция, он с перепугу вспо

мнил только, что номер четырёхзначный, все цифры разные, причём первая

цифра 1, а последняя 4. Сколько автомобилей должна проверить автоин

спекция?

Решение. Второй и третьей цифрами номера могут быть любые две из

следующих: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Выбрав любую пару различных цифр, ав

тоинспектор получит номер какого-либо автомобиля. Например, пара (5,7)

даёт номер 1574. Эти же цифры, но в другом порядке дают номер 1754.

Следовательно, нужно перебрать столько номеров, сколько будет всевоз

можных комбинаций из восьми перечисленных цифр по две, но с учётом

их порядка. Такие комбинации называют размещениями. В данном случае

мы ищем число размещений из восьми цифр по две.

Определение 5.1. Размещением из n элементов по k называется всякая

перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n.

Число всех размещений из n элементов по k обозначается Ak .

n

Теорема 5.1. Число всех размещений из n элементов по k вычисля

ется по формуле

Ak = n(n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1) .

n (5)

k сомножителей

Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k дей

ствий. Первое действие — выбор первого элемента — осуществляется n

способами, второе действие — выбор второго элемента — (n − 1) спосо

бами, и т. д., наконец, последнее действие — выбор k-того элемента —

(n − k + 1) способами. По правилу умножения число всех размещений будет

равно n(n − 1) . . . (n − k + 1), что и требовалось доказать.

Вернёмся к примеру 5.1. Согласно формуле (5) автоинспекция должна

проверить A2 = 8 · 7 = 56 автомобилей.

8

§ 5. Размещения 139

Формулу для числа размещений можно переписать в виде:

n!

Ak =

n , k = 1, 2, 3, . . . , n,

(n − k)!

воспользовавшись равенством n! = (n − k)! · (n − k + 1) . . . (n − 1) · n (см. по

следнее упражнение предыдущего параграфа). Правая часть этой формулы

имеет смысл при k = 0, так как n!/n! = 1, поэтому мы будем считать, что

A0 = 1.

n

При k = n формула (5) превращается в формулу для числа перестановок

из n элементов. Действительно,

An = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1 = n! = Pn .

n

Пример 5.2. Из точки проведено 10 лучей. Сколько получилось углов,

меньших 360◦ ?

Решение. Каждый угол определяется парой лучей, причём указывается,

какой из них первый, а какой второй. Угол отсчитывается от первого луча

против часовой стрелки до второго луча. Но два луча, взятых в определён

ном порядке из данных десяти лучей, образуют некоторое размещение из 10

лучей по 2. Следовательно, число всех углов равно числу всевозможных

размещений из 10 элементов по 2: A2 = 10 · 9 = 90.

10

Пример 5.3. В юридической конторе работают 8 юристов. Сколькими спо

собами можно распределить между ними пять дел (по одному на каждого)?

Решение. Для каждого дела указывается юрист, который будет им зани

маться, то есть каждое поручение можно истолковать как некоторое разме

щение из 8 по 5. Поэтому число всех способов распределения поручений

равно числу всех размещений из 8 элементов по 5: A5 = 8 ·7 ·6 ·5 ·4 = 6720.

8

Пример 5.4. Сколько различных натуральных чисел можно составить из

цифр 1, 2, 3, 4, если в записи числа каждая из цифр используется не более

одного раза?

Решение. По условию задачи из данных цифр можно составлять одно

значные, двузначные, трёхзначные и четырёхзначные числа. Количество од

нозначных чисел равно четырём (заметим, что 4 = A1). Всякое двузначное

4

число можно рассматривать как некоторое размещение из четырёх цифр по

две, поэтому их количество будет равно A2 = 4 · 3 = 12. Точно так же мы

4

найдём количество трёхзначных и четырёхзначных чисел, это соответствен

но A3 = 4 · 3 · 2 = 24 и A4 = 4! = 24. Всего, таким образом, получим

4 4

4 + 12 + 24 + 24 = 64 числа.

Пример 5.5. В Брюкове преступников мало, но на всякий случай места

для их временной изоляции имеются. Однажды брюковская полиция задер

жала 5 дрюковцев и оставила их переночевать в удобном помещении. Там

140 Глава V. Комбинаторные задачи

было 10 камер. Спрашивается, сколькими способами можно распределить

задержанных по камерам?

Решение. Можно отправить каждого дрюковца в отдельную камеру. То

гда число всех вариантов будет A5 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 = 30240. Но есть

10

и современный вариант — поместить всех арестованных в одну камеру; в

этом случае число возможных вариантов будет равно числу имеющихся в

наличии камер, то есть равно десяти. Кроме того, есть и другие (промежу

точные варианты), при которых в камеру помещается произвольное число

задержанных.

Такие размещения называют размещениями с повторениями. Подсчи

таем их количество. Каждое размещение можно описать с помощью пяти

действий — по числу рассаживаемых дрюковцев. Действие состоит в том,

что мы помещаем арестованного в ту или иную камеру. Поскольку камер

всего 10, то каждое действие можно осуществить десятью способами. По

этому по правилу умножения число способов выполнения пяти действий

равно 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100000.

Упражнения

1. На трёх карточках написаны буквы Р, А, К. Сколько различных слов можно составить,

если словом считается любой набор из трёх букв? Запишите эти слова.

2. В домоуправлении работают 6 человек. Поступило распоряжение о премировании трёх

сотрудников (различными суммами). Сколькими способами можно это сделать?

3. На железнодорожной ветке Дрюково — Стуково имеется 10 станций. В течение дня с

каждой станции на каждую другую выехало в точности по одному пассажиру. Сколько билетов

было куплено в этот день?

4. Сколькими способами можно выбрать из семи разных книг какие-либо четыре и подарить

их четырём милиционерам, занявшим первые четыре призовых места на конкурсе «Настоящий

мужчина города Брюкова»?

5. Студенты одной группы должны сдать 5 экзаменов в течение восемнадцати дней. Скольки

ми способами можно составить расписание экзаменов, если в один день разрешается сдавать

не более одного экзамена?