Глава VII

другой важнейший математический объект —

Функции функцию. В виде функциональных зависимо

´

стей формулируется большая часть законов

и графики природы и невозможно себе представить есте

ственную науку, в которой не использовалось

бы понятие функции. Материал этой главы чи

тателю знаком, поскольку почти все функции,

В первой главе книги мы обсуждали свой которые мы здесь рассматриваем, изучаются

ства чисел. Теперь мы будем рассматривать в школе.

§ 1. Декартовы координаты

Метод координат представляет собой один из наиболее универсальных

математических методов и используется для решения самых разнообразных

задач. В основе метода лежит понятие системы координат на прямой, на

плоскости и в пространстве.

Система координат возникла в результате осознания математиками того

факта, что точек на прямой, образно говоря, столько же, сколько действи

тельных чисел. Точнее, каждой точке на прямой можно сопоставить некото

рое единственное действительное число, которое называется координатой

этой точки. Проще всего это сделать с помощью так называемой равно

мерной шкалы, изображённой на рис. 61. Прямую с отмеченным на ней

положительным направлением и выделенной точкой O называют осью, а

саму точку O — началом координат.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

Рис. 61

Покажем, как получить равномерную шкалу. Сначала через равные про

межутки от начала координат отметим точки с целочисленными координата

ми, как это сделано на рис. 61. Такую операцию легко выполнить с помощью

циркуля на отрезке любой длины, но на всей прямой это можно сделать

лишь мысленно, поскольку она бесконечна. Далее каждый из полученных

отрезков, концы которых отмечены целыми числами, разделим на десять

равных частей. На рис. 62 это сделано для отрезка [0,1]. В результате на

шкале появятся точки, имеющие координаты с одним десятичным знаком

174 Глава VII. Функции и графики

после запятой1 .

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Рис. 62

Теперь делим на десять частей каждый из новых отрезков. В результате

появятся точки, отмеченные координатами с двумя десятичными знаками

после запятой (рис. 63).

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

Рис. 63

Продолжая эту процедуру, мы получим точки, координатами которых бу

дут дроби с тремя, четырьмя и т. д. десятичными знаками после запятой. При

этом, какую бы конечную десятичную дробь мы ни взяли, после некоторого

числа шагов мы получим на прямой точку, координатой которой является

именно эта десятичная дробь.

Как нам известно из первой главы, на прямой есть и такие точки, коор

динаты которых являются бесконечными десятичными дробями. Поэтому

иногда говорят так: «Продолжая процедуру дробления до бесконечности,

мы получим все точки, координатами которых являются всевозможные де

сятичные дроби». Возможность продолжать процедуру деления до беско

нечности — это математическая абстракция.

Здесь необходимо принять во внимание два допущения. На первое из них

указал ещё Евклид, определив точку так: это то, что не имеет частей. Во-вто

рых, предполагается, что при уменьшении длины отрезка все его свойства

сохраняются, то есть с меньшим отрезком можно делать всё то же, что и с

исходным. Однако это не будет верно, если прямые и точки считать физиче

скими объектами. Современная физика утверждает, что бесконечно дробить

нельзя, так как существует наименьшая величина — квант, и что свойства

больших тел (макромир) отличаются от свойств малых тел (микромир).

Точки, координаты которых являются бесконечными десятичными дро

бями, можно описать и иным способом. Рассмотрим, например, точку A с

координатой 7/3 = 2,333 . . . В силу неравенств 2,3 < 7/3 < 2,4 можно

утверждать, что точка A находится между точками M1 (2,3) и N1 (2,4). Так

1

´

Хотя мы изобразили отрезок [0,1] большим, чем на предыдущем рисунке, мы не счи

таем, что он увеличился. Мы просто смотрим на него сквозь увеличительное стекло.