§ 8. Повторение опытов 171

Формулу Бернулли применяют при решении многих задач, связанных с

повторяющимися опытами. При этом считается, что результат каждого из

них не зависит от исходов других опытов. Такие опыты называют также

независимыми испытаниями.

Пример 8.2. Вероятность того, что вратарь возьмёт пенальти, равна 0,3.

Какова вероятность того, что вратарь возьмёт один пенальти из четырёх?

Решение. Здесь мы имеем дело с повторением четырёх опытов (проби

тие пенальти). В каждом опыте может появиться событие A (вратарь берёт

пенальти), вероятность которого p = 0,3. По формуле Бернулли получаем:

P4 (1) = C4 (0,3) 1 (0,7) 3 = 4 · 0,3 · 0,343 = 0,4116.

1

Пример 8.3. Согласно учётным данным, рецидивисты составляют 20% от

общего числа установленных правонарушителей. Органы правопорядка за

держали 10 нарушителей. Какова вероятность того, что среди задержанных

более двух, но не более пяти рецидивистов?

Решение. На языке теории вероятностей первая фраза означает, что ве

роятность задержать рецидивиста p = 0,2. Привяжем ситуацию к схеме

повторяющихся опытов Бернулли. Здесь опытом будет проверка каждого за

держанного на предмет того, является ли он рецидивистом (событие A) или

нет. Опыт повторяется 10 раз и нам требуется найти вероятность P10 (3, 5)

того, что число рецидивистов будет больше двух, но не более пяти. По тео

реме сложения вероятностей

P10 (3, 5) = P10 (3) + P10 (4) + P10 (5).

Вероятности того, что среди задержанных имеется ровно m рецидиви

стов определяем по формулам Бернулли:

P10 (m) = C10 · (0,2) m · (0,8) 10−m ,

m

m = 0, 1, 2, . . . , 10.

При расчёте по этим формулам возникают трудности, связанные с нахо

m

ждением чисел C10 . Когда число опытов не слишком велико, например не

m

более двадцати, число сочетаний C10 можно находить с помощью треуголь

ника Паскаля, одиннадцать первых строк которого изображены на рис. 60.

Единица, размещённая в нулевой строке этого треугольника, соответствует

0 0 1

числу C0 . В следующей его строке записаны числа C1 и C1 , далее — вели

0 , C 1 и C 2 и т. д. Пользуясь треугольником Паскаля, найдём числа

чины C2 2 2

P10 (m) для значений m от 3 до 5:

P10 (3) = C10 · 0,23 · 0,87 = 120 · 0,23 · 0,87 = 0,20132 ≈ 0,2013;

3

P10 (4) = C10 · 0,24 · 0,86 = 210 · 0,24 · 0,86 = 0,08808 ≈ 0,0881;

4

P10 (5) = C10 · 0,25 · 0,85 = 252 · 0,25 · 0,85 = 0,02642 ≈ 0,0264.

5

172 Глава VI. Понятие вероятности

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Рис. 60

Теперь вычислим вероятность P10 (3,5):

P10 (3, 5) = P10 (3) + P10 (4) + P10 (5) = 0,2013 + 0,0881 + 0,0264 = 0,3158.

Замечание. Если найти значения всех вероятностей P10 (m), придавая m

значения от 0 до 10, и сложить их, то получится 1. Это можно увидеть и

без вычислений. Действительно, по формуле бинома Ньютона

[(1 − p) + p] n = Cn p 0 (1 − p) n + Cn p(1 − p) n−1 + . . . + Cn p n (1 − p) 0 .

0 1 n

Левая часть этой формулы равна 1, а слагаемые в правой части есть в точно

сти вероятности Pn (m) для m = 0, 1, . . . , n. Поэтому её можно переписать

так: Pn (0) + Pn (1) + . . . + Pn (n) = 1. Вероятности Pn (m) называют бино

миальными. Мы показали, что при любом n сумма всех биномиальных

вероятностей равна единице. Как вычислять биномиальные вероятности

при больших m и n, мы расскажем в седьмой главе.

Упражнения

1. Контрольный тест состоит из пяти вопросов, на каждый из которых нужно выбрать один

из трёх указанных ответов. Студент отвечает на вопросы наудачу. Найдите вероятность того,

что студент даст ровно два правильных ответа.

2. Монета брошена 6 раз. Найдите вероятности P6 (m) того, что орёл появится m раз (для

значений m от нуля до шести включительно) и убедитесь, что сумма всех этих вероятностей

равна единице.

3. Четырёхмоторный самолёт может продолжать полёт, если работают не менее двух мото

ров. Вероятность выхода из строя одного мотора равна 0,0001. Какова вероятность того, что

самолёт долетит до аэродрома?

4. Среди установленных правонарушителей 40% составляют лица, не имеющие постоянно

го дохода. Найдите вероятность того, что число таких среди восьми правонарушителей не

превосходит четырёх.