§ 6. Формула полной вероятности 165

местно с одной из трёх гипотез: H1 — выбран лыжник, H2 — выбран ве

лосипедист и H3 — выбран бегун. Поэтому для решения задачи можно

воспользоваться формулой полной вероятности при n = 3. Имеем:

P(H1) = 20/30; P(H2) = 6/30; P(H3) = 4/30;

P(A/H1) = 0,9; P(A/H2) = 0,8; P(A/H3) = 0,75.

По формуле (10) получаем:

P(A) = 0,9 · 10/15 + 0,8 · 3/15 + 0,75 · 2/15 = 43/50 = 0,86.

Пример 6.3. В клинику поступают в среднем 50% больных сердечно-сосу

дистыми заболеваниями, 30% — с заболеванием лёгких, и 20% поступив

ших имеют заболевание почек. Вероятность полного излечения больного

первой группы равна 0,1, больного второй группы — 0,7 и для третьей груп

пы она равна 0,5. Найдите вероятность того, что больной, поступивший в

клинику, будет выписан здоровым.

Решение. Пусть событие A состоит в том, что поступивший в клинику

больной выйдет оттуда здоровым. Возможны три гипотезы: H1 — боль

ной имел сердечно-сосудистое заболевание, H2 — больному лечили лёгкие

и H3 — больной жаловался на почки. По условию

P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,3; P(H3) = 0,2;

P(A/H1) = 0,1; P(A/H2) = 0,7; P(A/H3) = 0,5.

По формуле (10) получаем: P(A) = 0,1 · 0,5 + 0,7 · 0,2 + 0,5 · 0,2 = 0,29.

Пусть из клиники выписан выздоровевший пациент. Какова вероятность

того, что ему лечили лёгочное заболевание? Мы не можем дать ответ 0,3 по

тому, что это число показывает вероятность P(H2) поступления в клинику с

заболеванием лёгких, а нам требуется найти вероятность P(H2 /A) того, что

выздоровевший больной был лёгочником. Для её определения воспользуем

ся теоремой умножения вероятностей.

Согласно этой теореме P(AH2) = P(A/H2) · P(H2). Отсюда P(AH2) =

= 0,7 · 0,2 = 0,14. Но, как мы знаем, теорему умножения можно записать и

в другом виде: P(AH2) = P(H2 /A) · P(A). Подставив в эту формулу уже

найденные значения, получим 0,14 = P(H2 /A) · 0,29, откуда P(H2 /A) =

= 0,14/0,29 = 14/29 ≈ 0,4828. В общем виде проведённые рассуждения

приводят к формулам

P(A/Hi) · P(Hi)

P(Hi /A) = , (11)

P(A)

которые называются формулами Байеса. В примере мы проводили рас

чёт для i = 2. При значении i = 1 мы найдём вероятность того, что вы

здоровевший больной лечил сердечно-сосудистое заболевание: P(H1 /A) =

= 0,05/0,29 = 5/29 ≈ 0,1724. А вероятность того, что выздоровевший боль

ной лечил почки, получается при i = 3: P(H3 /A) = 0,01/0,29 = 10/29 ≈

≈ 0,3448.

166 Глава VI. Понятие вероятности

Пример 6.4. Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки,

относится к числу проезжающих там же легковых машин как 3:2. Вероят

ность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легко

вой машины эта вероятность равна 0,2. На заправку подъехала машина.

Найдите вероятность того, что подъехавшая машина грузовая.

Решение. Пусть событие A состоит в том, что проезжающая машина оста

новилась на заправку, а гипотезы H1 и H2 соответственно означают, что про

езжающая машина грузовая или легковая. Нам нужно найти вероятность

P(H1 /A). Из условия следует, что P(H1) = 0,6, P(H2) = 0,4, P(A/H1) =

= 0,1 и P(A/H2) = 0,2. Сначала по формуле полной вероятности находим

P(A) = 0,6 · 0,1 + 0,4 · 0,2 = 0,14. Далее применяем формулу Байеса:

P(A/H1) · P(H1) 0,6 · 0,1 6 3

P(H1 /A) = = = = ≈ 0,4286.

P(A) 0,14 14 7

Упражнения

1. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6 и трое — с вероятностью 0,4.

Найдите вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадёт в цель.

2. На склад поступила продукция трёх фабрик, причём 10% продукции произведено первой

фабрикой, 20% — второй и 70% — третьей. Известно, что в среднем продукция первой

фабрики содержит 3% брака, второй — 2% и третьей — 1%. Найдите вероятность того, что

наугад взятое изделие окажется бракованным.

3. В студенческой группе 8 девушек и 12 юношей. Вероятность того, что девушка напишет

контрольную работу на отлично, равна 0,6; для юношей эта вероятность равна 0,4. Наугад

выбранная для проверки работа получила отличную оценку. Какова вероятность того, что эту

работу написала девушка?

4. Жители города Стуково отличаются высокой честностью — они почти никогда не берут то,

что плохо лежит. Однако приезжие часто ведут себя иначе: вероятность того, что брюковец

стянет подвернувшуюся под руку вещь, равна 0,2, а для дрюковца её полагают равной 0,3. В

одном из магазинов произошла кража. Полиция задержала всех приезжих, находившихся в

момент кражи в магазине — 8 брюковцев и 5 стуковцев. Какова вероятность того, что кражу

совершил брюковец?