§ 4. Теоремы сложения вероятностей

Теорема 4.1. Если события A и B несовместны, то вероятность их

суммы вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B). (1)

Доказательство. Пусть число всех исходов испытания равно n. В число

исходов, благоприятных событию A + B, входят все исходы, благоприятные

событию A, и все исходы, благоприятные событию B. Поскольку события

A и B несовместны, то m(A + B) = m(A) + m(B). Следовательно,

m(A + B) m(A) m(B)

P(A + B) = = + = P(A) + P(B),

n n n

что и требовалось доказать.

Пример 4.1. В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероят

ность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?

Решение. Пусть событие A состоит в том, что вынут синий шар, а собы

тие B — вынут красный шар. Тогда P(A) = 5/15, P(B) = 2/15. Событие

A + B означает, что вынут шар синего или красного цвета. Так как события

A и B несовместны, то вероятность события A + B вычисляется по форму

ле (1): P(A + B) = 5/15 + 2/15 = 7/15.

Теорема 4.2. Справедлива формула

P(A) = 1 − P(A). (2)

Доказательство. Поскольку события A и A несовместны, то по форму

ле (1) P(A + A) = P(A) + P(A). С другой стороны, событие A + A является

достоверным, поэтому по свойству §2 имеем P(A + A) = 1. Следовательно,

P(A) + P(A) = 1, откуда и вытекает формула (2).

Пример 4.2. Один лотерейный билет выигрывает с вероятностью 0,0001.

Какова вероятность того, что владелец одного билета не выиграет?

Решение. Пусть событие A означает выигрыш. Тогда по формуле (2)

P(A) = 1 − 0,0001 = 0,9999.

§ 4. Теоремы сложения вероятностей 159

Формулу (1) можно распространить на любое число событий. Методом

математической индукции доказывается, что если события A1 , A2 , . . . , An

попарно несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

P(A1 + A2 + . . . + An) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An). (3)

Пример 4.3. В лотерее из тысячи билетов выигрыши распределены сле

дующим образом: 5 билетов выигрывают по 50 рублей, 25 билетов — по

10 рублей и 60 билетов — по 5 рублей, 100 билетов выигрывают по одному

рублю; остальные билеты ничего не выигрывают. Участник лотереи приоб

рёл один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не менее пяти

рублей?

Решение. Введём следующие события: A1 — выигрыш 50 рублей, A2 —

выигрыш 10 рублей, A3 — выигрыш 5 рублей, B — выигрыш не менее пяти

рублей. Тогда B = A1 + A2 + A3 . По условию задачи имеем P(A1) = 0,005,

P(A2) = 0,025 и P(A3) = 0,060. Поскольку события A1 , A2 и A3 попарно

несовместны, то P(B) = P(A1 + A2 + A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 0,005 +

+ 0,025 + 0,060 = 0,090.

Для произвольных (не обязательно несовместных) событий теорема сло

жения вероятностей записывается сложнее.

Теорема 4.3. Вероятность суммы двух событий вычисляется по фор

муле

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB). (4)

Доказательство. Пусть число всех исходов испытания равно n, при этом

k исходов благоприятны событию A, s исходов благоприятны событию B и

r исходов благоприятны произведению AB. Тогда P(A) = k/n, P(B) = s/n,

P(AB) = r/n. Число исходов, благоприятных только событию A будет k − r.

Поэтому событию A+B благоприятны k+s−r исходов: m(A+B) = k+s−r.

По определению вероятности получаем:

P(A + B) = (k + s − r) /n = k/n + s/n − r/n = P(A) + P(B) − P(AB),

что и требовалось доказать.

Пример 4.4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для

первого стрелка равна 0,8, для второго — 0,7. Вероятность того, что оба

стрелка с первого выстрела поразят мишень, равна 0,56. Найдите вероят

ность того, что промахнутся оба стрелка.

Решение. Пусть событие A означает попадание первого стрелка и событие

B — попадание второго. По условию P(A) = 0,8; P(B) = 0,7; P(AB) = 0,56.

Рассмотрим событие A + B; оно означает, что хотя бы один из стрелков

попал в мишень. По формуле (4) P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0,8 +

+ 0,7 − 0,56 = 0,94.

160 Глава VI. Понятие вероятности

Пусть событие C означает промах обоих стрелков. Тогда C и A+B явля

ются противоположными событиями и из формулы (1) следует, что P(C) =

= 1 − P(A + B) = 1 − 0,94 = 0,06.

Заметим, что формула (1) следует из формулы (4). Действительно, если

события A и B несовместны, то их произведение AB является невозможным

событием, поэтому по третьему свойству вероятности из §2 P(AB) = 0 и

формула (4) превращается в формулу (1).

Упражнения

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 выбирают две и составляют двузначное число. Событие A — обе

цифры числа чётные; событие B — обе цифры нечётные. Что означают события A, B, A + B,

A + B, AB? Найдите вероятности перечисленных событий.

2. Вероятность того, что в течение суток в пригороде Брюкова будет отключён свет, равна 0,4.

Какова вероятность того, что в течение суток свет не будет отключён?

3. Мишень состоит из трёх непересекающихся зон. Вероятности попадания в каждую из них

при одном выстреле равны соответственно 0,3, 0,2 и 0,1. Найдите вероятность промаха при

одном выстреле.

4. Из ста деталей отобраны для проверки две. Вероятность того, что первая деталь является

бракованной, равна 0,05; для второй детали эта вероятность равна 0,03; вероятность того, что

обе детали будут доброкачественными, равна 0,93. Найдите вероятность того, что по крайней

мере одна из двух выбранных деталей будет доброкачественной.