§ 3. Метод математической индукции 135

Пример 3.1. В колоде 36 карт. Наудачу вынимают 3 карты. Каково число

всех возможных наборов из трёх карт? Сколько из них содержат по крайней

мере один туз? В скольких тройках ровно один туз?

Решение. Выбор трёх карт можно рассматривать как результат последо

вательного выполнения трёх действий, состоящих соответственно в выборе

первой, второй и третьей карт. Число всех способов выполнения первого

действия равно числу всех карт, то есть 36. Так как одна карта уже вынута,

то число способов, которыми можно выполнить второе действие, равно 35.

Аналогично получаем, что имеется всего 34 способа выполнить третье дей

ствие. По правилу умножения число всех возможных комбинаций равно

произведению 36 · 35 · 34 = 42840, что и является ответом на первый во

прос.

Мы перебираем все комбинации, в том числе и различающиеся поряд

ком расположения карт. Например, комбинации вида «дама пик, туз бубен,

король треф» и «король треф, туз бубен, дама пик» считались различными.

Теперь найдём число всех таких комбинаций из трёх карт, в которых нет

тузов. Выкинем из колоды карт тузы и будем выбирать карты из оставшихся

тридцати двух. Получается 32 способа выполнить первое действие (выбор

первой карты), 31 способ — второе действие и 30 способов — третье дей

ствие. Следовательно, всего троек без тузов будет 32 · 31 · 30 = 29760. Если

отнять это число от числа всех комбинаций, то получится число всех та

ких троек, в каждой из которых есть по крайней мере один туз. Оно равно

42840 − 29760 = 13080, и мы нашли ответ на второй вопрос.

Чтобы ответить на последний вопрос задачи, рассмотрим процедуру вы

бора какой-нибудь тройки карт, в которой первая карта туз, а вторая и

третья карты — не тузы. Поскольку тузов 4, то первое действие (выбор ту

за) осуществляется четырьмя способами. Следующая карта выбирается из

оставшихся тридцати двух карт, третья — из тридцати одной карты. Прави

ло умножения даёт 4 · 32 · 31 = 3968 вариантов. Но карты можно выбирать и

в другом порядке: «не туз, туз, не туз» (ещё 3968 вариантов), «не туз, не туз,

туз» (столько же вариантов). Следовательно, всего будет 3968 · 3 = 11904

варианта.

Попытка обойти или «сократить» метод математической индукции может

привести к неправильному результату. Рассмотрим, например, выражение

32n − 3n − 1. Полагая n = 1, получим: 32 − 31 − 1 = 9 − 3 − 1 = 5 — простое

число. При n = 2 получим 34 − 32 − 1 = 81 − 9 − 1 = 71, то есть тоже

простое число. При n = 3 имеем 36 − 33 − 1 = 729 − 27 − 1 = 701 — опять

простое число!

Возникает соблазн считать, что рассматриваемое выражение даёт про

стое число при любом n. Но уже при n = 4 мы получаем

38 − 34 − 1 = 6561 − 81 − 1 = 6479 = 589 · 11,

то есть не простое, а составное число.

136 Глава V. Комбинаторные задачи

Упражнения

1. В отделе работает 7 человек. Найдите число всех вариантов очереди в кассу.

2. Сформулируйте и докажите правило сложения для n действий.