Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности
На каждом i-ом шаге вычисляют 4 числа:
K1 = hf(xi,yi); K2 = hf(xi+h/2,yi+k1/2); K3 = hf(xi+h/2,yi+k2/2); K4 = hf(xi+h,yi+k3)
и определяют их средневзвешенное по формуле:
yi = 1/6(K1+2K2+2K3+K4); yi+1 = yi+ yi .
Погрешность оценивается методом Рунге по формуле:
|
|
1/15|
|
При ручных расчётах целесообразно формировать следующую таблицу .
i |
x |
y |
y`=f(x,y) |
K=h f |
y |
0 |
x0 |
y0 |
f(x0,y0) |
K1(0) |
K1(0) |
|
x0+h/2 |
y0+k1/2 |
f(x0+h/2, y0+k1/2) |
K2(0) |
2 K2(0) |
|
x0+h/2 |
y0+k2/2 |
f(x0+h/2, y0+k2/2) |
K3(0) |
2 K3(0) |
|
x0+h |
y0+k3 |
f(x0+h, y0+k3) |
K4(0) |
K4(0) |
|
|
|
|
|
1/6 |
1 |
x1 |
y1=y0+ y0 |
f(x1,y1) |
K1(1) |
K1(1) |
|
x1+h/2 |
y1+k1/2 |
f(x1+h/2,y1+k1/2) |
K2(1) |
2K2(1) |
|
x1+h/2 |
y1+k2/2 |
f(x1+h/2,y1+k2/2) |
K3(1) |
2K3(1) |
|
x1+h |
y1+k3 |
f(x1+h, y1+k3) |
K4(1) |
K4(1) |
|
|
|
|
|
1/6 |
2 |
x2 |
y2=y1+ y1 |
|
|
|
Пример. Найти решение дифференциального уравнения y` = y/x – y2
c начальным условием y(x=1) = 1 на отрезке [1;2] с шагом h=0,2 методом Рунге – Кутта 4-го порядка точности.
i |
x |
y |
f(x,y) |
k=hf |
y |
0 |
1,0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1,1 |
1,0000 |
-0,0909 |
-0,0182 |
-0,0364 |
|
1,1 |
0,9909 |
-0,0811 |
-0,0162 |
-0,0324 |
|
1,2 |
0,9838 |
-0,1480 |
-0,0296 |
-0,0296 |
|
|
|
|
|
-0,0164 |
1 |
1,2 |
0,9016 |
-0,0616 |
-0,0123 |
-0,0123 |
|
1,3 |
0,8954 |
-0,1130 |
-0,0226 |
-0,0452 |
|
1,3 |
0,8903 |
-0,1078 |
-0,0216 |
-0,0431 |
|
1,4 |
0,8800 |
-0,1459 |
-0,0292 |
-0,0292 |
|
|
|
|
|
-0,0216 |
2 |
1,4 |
0,7718 |
-0,0444 |
-0,0089 |
-0,0089 |
|
1,5 |
0,7674 |
-0,0773 |
-0,0156 |
-0,0310 |
|
1,5 |
0,7641 |
-0,0744 |
-0,0149 |
-0,0298 |
|
1,6 |
0,7569 |
-0,0998 |
-0,0200 |
-0,0200 |
|
|
|
|
|
-0,0149 |
3 |
1,6 |
0,6823 |
-0,0391 |
-0,0078 |
-0,0078 |
|
1,7 |
0,6794 |
-0,0611 |
-0,0122 |
-0,0245 |
|
1,7 |
0,6762 |
-0,0595 |
-0,0119 |
-0,0238 |
|
1,8 |
0,6704 |
-0,0770 |
-0,0154 |
-0,0154 |
|
|
|
|
|
-0,0119 |
4 |
1,8 |
0,6108 |
-0,0338 |
-0,0068 |
-0,0068 |
|
1,9 |
0,6074 |
-0,0493 |
-0,0099 |
-0,0197 |
|
1,9 |
0,6059 |
-0,0482 |
-0,0096 |
-0,0193 |
|
2,0 |
0,6012 |
-0,0608 |
-0,0122 |
-0,0122 |
|
|
|
|
|
-0,0097 |
5 |
2,0 |
0,5529 |
|
|
|