19.20.Касательные напряжения при поперечном изгибе прямого бруса

П ри плоском поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют и изгибающий момент М и поперечная сила Q, возникают не только нормальные  , но и касательные напряжения  .

Нормальные напряжения при поперечном изгибе рассчитываются по тем же формулам, что и при чистом изгибе:

;        (6.24)

Далее получим зависимости для определения касательных напряжений  в случае поперечного изгиба балки.

Рис.40. Плоский изгиб.

При выводе формулы примем некоторые гипотезы:

касательные напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

касательные напряжения всюду параллельны силе Q.

Рассмотрим консольную балку, находящуюся в условиях поперечного изгиба под действием силы F. Построим эпюры внутренних усилий Оy, и Мx.

На расстоянии z от свободного конца балки выделим элементарный участок балки длиной dz и шириной, равной ширине балки b. Покажем внутренние усилия, действующие по граням элемента: на граниcd возникает поперечная сила Qy и изгибающий момент Мx, а на грани ab - также поперечная сила Qy и изгибающий момент Mx+dMx (так как Qy остается постоянной по длине балки, а момент Мx изменяется, см. рис. 6.12). На расстоянии у от нейтральной оси отсечем часть элемента abcd, покажем напряжения, действующие по граням полученного элемента mbcn, и рассмотрим его равновесие. На гранях, являющихся частью   наружной   поверхности  балки, нет  напряжений.   На  боковых   гранях    элемента от действия изгибающего момента Мx, возникают нормальные напряжения:

                               ;                 (6.25)        

            (6.26)

Кроме того, на этих гранях от действия поперечной силы Qy, возникают каса­тельные напряжения  , такие же напряжения возникают по закону парности касательных напряжений и на верхней грани элемента.

Составим уравнение равновесия элемента mbcn, проецируя равнодействую­щие рассмотренных напряжений на ось z:

,                                         (6.27)

,      (6.28)

.                                                     (6.29)        

Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой ни что иное, как статический момент боковой грани элемента mbcn относительно оси z, поэтому можем записать

.                                            (6.30)

Учитывая, что, согласно дифференциальным зависимостям Журавского Д. И. при изгибе,

,                                            (6.31)

выражение для касательных напряжений при поперечном изгибе можем переписать следующим образом (формула Журавского)

.                                                     (6.32)

Проанализируем формулу Журавского. Здесь

Qy - поперечная сила в рассматриваемом сечении;

Jx - осевой момент инерции сечения относительно оси x;

b — ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения;

 - статический момент относительно оси x части сечения, расположенной выше (или ниже) того волокна, где определяется касательное напряжение:

,                                       (6.33)

где    и А' - координата центра тяжести и площадь рассматриваемой части сечения, соответственно.

Формула Журавского позволяет определить касательные напряжения при изгибе, возникающие в точках поперечного сечении балки, находящиеся на расстоянии от нейтральной оси x.