16. Расчет на прочность при кручении.

При расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могут решаться три задачи:

а)      проверочный расчет – проверить, выдержит ли вал приложенную нагрузку;

б)      проектировочный расчет - определить размеры вала из условия его проч­ности;

в)      расчет по несущей способности - определить максимально допустимый крутящий момент.

При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядок расчета валов при кручении:

·        по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

·        выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого ма­териала допускаемое напряжение  ;

·        для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

                                       (5.15)

Проектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основе следующего соотношения:

                                            (5.16)

Для сплошного круглого сечения  , отсюда можем записать вы­ражение для определения диаметра вала из условия его прочности:

                                    (5.17)

Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость по формуле

,                                    (5.18)

где      - допустимый относительный угол закручивания вала.

Если данное условие не выполняется, то необходимо выбрать размеры вала из условия жесткости:

                                      (5.19)

Учитывая, что для сплошного круглого сечения  , можем запи­сать выражение для определения диаметра вала из условия его жесткости:

                                           (5.20)

Окончательно выбирают диаметр d, удовлетворяющий условиям прочности и жесткости.

17.Геометрические сечения.

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие,

характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

 

Площадь поперечного сечения

 - площадь поперечного сечения. Размерность  м2.

Статические моменты

 - статический момент относительно оси х,

 - статический момент относительно оси y.

Статический момент относительно данной оси – сумма произведений элементарных площадей dAна их расстояние до данной оси, взятая по всей площади сечения А.

На основании теоремы Вариньяна (из курса теоретической механики) следует, что

,       ,                 (1.4)

а для сложного сечения (состоящего из нескольких простых, каждое из которых имеет площадь Аi и координаты собственного центра тяжести yci , xci)

,  .                               (1.5)

Статический момент относительно какой-либо оси равен произведению всей площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.

Размерность статических моментов площади  м3. Статические моменты площади могут быть положительны, отрицательны  и равные нулю. Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю, называются центральными осями (это две взаимноперпендику-лярные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения).

         Осевые моменты инерции

 - осевой момент инерции относительно оси х,

 - осевой момент инерции относительно оси y.

Осевой момент инерции относительно рассматриваемой оси – сумма произведений элементарных площадей dA на квадрат их расстояний до этой оси, взятая по всей площади сечения А.

Осевые моменты инерции имеют размерность  м4 и всегда положительны

Центробежный момент инерции

 - центробежный момент инерции.

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А.

Центробежный момент инерции имеют размерность  м4 и  может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями.

Главные центральные оси  – это оси, осевые моменты инерции относительно которых принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).

Полярный момент инерции

                                                                                    (1.6)

.                   (1.7)

Полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний ( ) до этой точки, взятая по всей площади сеченияА.

Моменты сопротивления

Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки

;  .                                  (1.8)

Полярный момент сопротивления

                                                    (1.9)

Осевой и полярный моменты инерции имеют размерность м3.

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

;  .                                   (1.10)

Вычисление геометрических характеристик простых фигур

П рямоугольное сечение.

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси х.

Р азобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихована)  равна  . Подставляя значение dA в формулу для определения осевого момента инерции, получим:      

    (1.11)                                                                                                             

По аналогии запишем

.                                                (1.12)

 

Круглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции. Затем, учитывая, что для круга  , а  , найдем  .

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной d  и радиусом  ; площадь такого кольца  . Подставляя выражение для площади кольца в выражение для   и интегрируя, получим:    Тогда

                                  (1.13)