14. Эмпирическая функция распределения, полигон, гистограмма.

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁, n₁), (x₂, n₂),…, (x_k, n_k), где x_iоткладываются на оси абсцисс, а n_i– на оси ординат.

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события        X < x. Таким образом,

                                                  ,                                                         

где п_х – число вариант, меньших х, п – объем выборки.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной n_i /h.

15. Точечные оценки неизвестных параметров статистического распределения (выборочная средняя, выборочная и исправленная дисперсия).

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения признака выборки различны, то

Для исправления выборочной дисперсии достаточно умножить её на дробь

, получим исправленную дисперсию S².

16. Интервальные оценки параметров распределения. Надёжность оценки. Доверительный интервал для оценки мат. Ожидания нормально распределённой св с известными q.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Допустим, что для изучения некоторой случайной величины X (признака) необходимо по статистическим данным произвести оценку неизвестного ее параметра θ с определенной степенью точности и надежности, т. е. надо указать границы, в которых практически достоверно лежит этот неизвестный параметр θ.

Надежность оценивается числом g (α = 1 – γ), которое называют доверительной вероятностью:

g = Р( ).   

число e характеризует точность оценки параметра θ; число g – характеризует надежность оценки параметра θ.

Доверительный интервал

18. Преобразование Лапласа: функция оригинал и функция изображение.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал).

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2. f (t)=0 для всех отрицательных t;

3.  f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и s₀, что |f(t)|<Me^{s0t .}

Изображением функции  f (t) (по Лапласу) называется функция F(p) комплексного переменного p=s +it , определяемая равенством

.

Тот факт, что F(p) есть изображение  f (t), будем символически записывать так:

.