Одно из применений

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Закон Бернулли позволяет объяснить эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем на участке трубы большего диаметра, в результате чего наблюдается разница высот столбов жидкости ; бо́льшая часть этого перепада давлений обусловлена изменением скорости течения жидкости, и может быть вычислена по уравнению Бернулли

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

,

где

 — атмосферное давление,

 — высота столба жидкости в сосуде,

 — скорость истечения жидкости,

 — гидростатический напор (сумма геометрического напора z и пьезометрической высоты ).

Отсюда: . Это — закон Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты .

Часто уравнение Бернулли записывается в виде:

где

 — гидродинамический напор,

 — скоростной напор.

Для сжимаемого идеального газа

^[1] (постоянна вдоль линии тока или линии вихря)

где

 — Адиабатическая постоянная газа

 — давление газа в точке

 — плотность газа в точке

 — скорость течения газа

 — ускорение свободного падения

 — высота относительно начала координат

При движении в неоднородном поле заменяется на потенциал гравитационного поля.

Термодинамика закона Бернулли

Из статистической физики следует, что на линиях тока при адиабатическом течении остается постоянным следующее соотношение:

где  — энтальпия единицы массы,  — потенциал силы.

Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений  

1. Запишем Уравнение Эйлера:

— потенциал. Для силы тяжести

2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):

Пусть и — энтальпия единицы массы, тогда:

или

3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:

— проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.

4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:

Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:

— условие стационарности

— так как

Получаем:

То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение:

Практические следствия

• закон Бернулли объясняет эффект притяжения между телами, находящимися вблизи границ потоков движущихся жидкостей (газов). Иногда это притяжение может создавать угрозу безопасности. Например, при движении скоростного поезда «Сапсан» (скорость движения более 200 км/час) для людей на платформах возникает опасность сброса под поезд.^[2] Аналогично «затягивающая сила» возникает при движении судов параллельным курсом: например, подобные инциденты происходили с лайнером «Олимпик».

Приложение

Вывод уравнения Бернулли  

Энергия маленького элемента жидкости: (U - потенциальная энергия)

Слева на большой объем жидкости между двумя поверхностями действует сила , а справа - (минус, потому что влево).

Итак, этот объем жидкости сдвинулся (за время ). Пусть его левая граница сдвинулась на , а правая - на .

Пишем условие несжимаемости: . Объёмы, как видно, бесконечно малые, дифференциальные. Их самих можно рассматривать как дифференциалы объёма всего большого элемента.

Далее. Сначала наш большой элемент состоял из левого голубого элемента и средней синей части. Теперь он состоит из средней синей части и правого голубого элемента. При этом все его молекулы сдвинулись, но так как течение стационарное, то в каждой точке со временем энергия не меняется. Поэтому энергия средней синей части не поменялась. Поэтому работа сил (ну, или за бесконечно малое время не сама работа, а её дифференциал) равна изменению энергии, равному, в свою очередь, энергии правого голубого элементика (который добавился) минус энергия левого голубого элементика (который, наоборот, ушёл, влился в средний синий). .

Теперь вспоминаем формулу несжимаемости и сокращаем на объём. .

Сгруппируя слагаемые, получаем формулу Бернулли: , или просто , или, подставив потенциальную энергию, .

Труба Вентури — устройство для измерения расхода или скорости потока газов и жидкостей, представляющее собой трубу с горловиной, включаемую в разрыв трубопровода. Имеет наименьшие потери давления среди сужающих поток расходомеров. Названа по имени итальянского ученого Дж. Вентури.