17

Титульная страница

РГР по МОР 13

Содержание

1. Задача 1 3

2. Задача 2 7

8

Задача 3 14

Список использованной литературы и источников 17

1.Задача 1

Фирма поставляет на рынок новинки видеозаписей. Себестоимость одного диска (диск, работа, лицензионные отчисления) равна 130 рублей. В первую неделю продаж диск позиционируется как новинка и продается в собственном магазине по цене 250 руб. за штуку. Со второй недели цена дисков резко падает и они передаются в торговые сети по остаточной стоимости 40 руб. за диск. Директор фирмы знает, что за первую неделю возможно продать от 2 до 4 коробок с дисками по 500 штук в каждой. Вероятность спроса равна 30% для 2 коробок, 50% для 3 коробок и 20% для 4 коробок. Если сделать скидку на диски, равную 3 %, то вероятность спроса поменяется и будет равна 20% для 2 коробок, 40% для 3 коробок и 40% для 4 коробок.

1. Определить оптимальную стратегию поведения фирмы для оптимизации прибыли. Имеет ли смысл делать скидку на фильмы?

2. Определить, какова максимальная стоимость информации о реальном спросе на конкретную видеозапись? Имеет ли смысл делать скидку в этом случае?

Решение:

Запишем матрицу игры с природой для этой задачи. Выигрышем будем считать прибыль, которую получит фирма в каждой ситуации. Строки матрицы будут соответствовать возможным стратегиям фирмы продать 2 коробки с дисками (2*500=1000 дисков), продать 3 коробки (1500 дисков), продать 4 коробки (2000 дисков). Столбцы будут соответствовать спросу: 2, 3, 4 коробки. Матрица игры с природой будет иметь представлена в табл. 1.

Поясним, как получились значения в таблице 1. Как следует из условия, при покупке одного диска фирма тратит 130 руб., а при продаже получает без скидки 250 руб. Таким образом, каждый проданный диск в первую неделю приносит прибыль 120 руб., а каждый проданный диск во вторую неделю приносит убыток 40-130 = -90 руб.

Рассмотрим ситуацию, когда фирма привезла 4 коробки дисков (2000 штук). Если спрос равен 4 коробкам, то прибыль будет равна 2000*120= 240000 руб. При спросе 3 коробки прибыль составит 1500*120+500*(-90) = 135000 руб. Для спроса 2 коробки получаем прибыль 1000*120+1000*(-90) = 30000 руб. Для других вариантов завоза результаты получаются аналогично.

Таблица 1

Случай без скидки

Спрос Закупка	Прибыль по каждому варианту, тыс. руб.
	2 коробки	3 коробки	4 коробки
2 коробки	120000	120000	120000
3 коробки	75000	180000	180000
4 коробки	30000	135000	240000
Вероятности	0,3	0,5	0,2

Поясним, как получились значения в таблице 2. Как следует из условия, при покупке одного диска фирма тратит 130 руб., а при продаже со скидкой 3% получает 242,5 руб. Таким образом, каждый проданный диск в первую неделю приносит прибыль 112,5 руб., а каждый проданный диск во вторую неделю приносит убыток 90 руб.

Рассмотрим ситуацию, когда фирма привезла 4 коробки дисков (2000 штук). Если спрос равен 4 коробкам, то прибыль будет равна 2000*112,5 = 225000 руб. При спросе 3 коробки прибыль составит 1500*112,5+500*(-90) = 164250 руб. Для спроса 2 коробки получаем прибыль 1000*112,5+1000*(-90) = 22500 руб. Для других вариантов завоза результаты получаются аналогично. Матрица игры с природой будет иметь представлена в табл. 2.

Таблица 2

Случай со скидкой

Спрос Закупка	Прибыль по каждому варианту, тыс. руб.
	2 коробки	3 коробки	4 коробки
2 коробки	112500	112500	112500
3 коробки	67500	168750	168750
4 коробки	22500	164250	225000
Вероятности	0,2	0,4	0,4

Если другой информации у фирмы нет, то ей лучше применять для выбора стратегии критерий Байеса – в этом случае он сможет оптимизировать среднюю прибыль и добиться наилучшего результата за многодневный период торговли.

В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется средний ожидаемый результат как сумма произведений вдоль строки результатов на их вероятности:

Лучшей по критерию Байеса считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

1. Без скидки

В₁ = 0,3∙120000+ 0,5∙120000 + 0,2∙120000 = 120000 руб.

В₂ = 0,3∙75000 + 0,5∙180000 + 0,2∙180000 = 148500 руб.

В₃ = 0,3∙30000 + 0,5∙135000 + 0,2∙240000 = 124500 руб.

В_I = max(120000; 148500; 124500) = 148500 = В₂  С₂  The best (Bayes)

Таким образом, лучше поставлять по 3 коробки дисков. Тогда средняя прибыль составит 148500 руб.

2. Со скидкой

В₁ = 0,2∙112500+ 0,4∙112500 + 0,4∙112500 = 112500 руб.

В₂ = 0,2∙67500 + 0,4∙168750 + 0,4∙168750 = 148500 руб.

В₃ = 0,2∙22500+ 0,4∙164250 + 0,4∙225000 = 160200 руб.

В_I = max(112500; 148500; 160200) = 160200 = В₃  С₃  The best (Bayes)

Таким образом, при скидки 3% на диски лучше закупать по 4 коробки. Тогда средняя прибыль составит 160200 рублей.

Следовательно, делать 3 % скидку на диски выгодно, прибыль составят 11700 руб. (160200-148500).

Рассмотрим две возможности дополнительной информации:

1. Имеется возможность знать состояние природы перед каждой следующей партией в игре. В данном случае – знать спрос на следующий день (например, можно провести мониторинг спроса на следующий день, организовать продажи по записи и т.п.).

2. Имеется возможность уточнить значения вероятностей состояний природы (например, собрать информацию об аналогичных объектах, провести подробное изучение спроса и т.п.).

Описанные возможности требуют дополнительных затрат средств и времени. Каковы максимально допустимые удельные затраты (затраты в пересчете на один день торговли)?

Изучим первую возможность. Если фирма будет точно знать спрос, то она закупит оптимальное количество дисков – ровно столько коробок, сколько будет продано. При этом прибыль составит по 112500 руб. с 2 коробок, 168750 руб. с 3-х, 225000 руб. с 4-х коробок. Так как знание спроса не влияет на частоту его реализации, то 2 коробки будут закупать в 30% случаев, 3 коробки – 50%, 4 коробки – 20%. В итоге фирма получит среднюю прибыль, равную:

=0,3∙112500+ 0,5∙168750 + 0,2∙225000 =163125 руб.

Таким образом, владея информацией о спросе, фирма увеличит свою среднюю прибыль на 2925 руб. Именно это и есть удельная стоимость точной информации о спросе.

Важно заметить, что в результате получения информации фирма принципиально поменяет свою деятельность: вместо закупок 4 коробки она должна возить различное количество, строго определенное дополнительной информацией.

Изучим второй вид дополнительной информации. Представим, что у фирмы имеется противоречивая информация о вероятностях спроса. Первая версия описана выше (0,3; 0,5; 0,2). По второй версии спрос равновероятен, то есть вероятность спроса равна 0,33 для всех вариантов. Третьи источники утверждают, что спрос в 2, 3, 4 коробки имеет вероятности соответственно 0,1; 0,1; 0,8. Если мы можем провести серию мероприятий по уточнению этой информации, то какова максимальная удельная стоимость таких мероприятий?

Оптимальный выбор стратегии при первом варианте мы уже сделали – нужно закупать по 4 коробки и получим в среднем 160200руб., продавая товар при 3% скидкой.

Для второго варианта вероятностей:

В₁ = 0,33∙112500+ 0,33∙112500 + 0,33∙1125000 = 111375 руб.

В₂ = 0,33∙67500 + 0,33∙168750 + 0,33∙1687500 = 133650 руб.

В₃ = 0,33∙22500 + 0,33∙164250 + 0,33∙225000 = 135877,5 руб.

В_I = max(111375; 133650; 135877,5) = 135877,5 = В₃  С₃  The best (Bayes)

Таким образом, при равновероятном спросе лучше закупать 4 коробки. Тогда средняя прибыль составит 135877,5 руб.

Среднее значение прибыли увеличилось, выбор стратегии поменялся. Можно сделать вывод, что по второй версии при равновероятном спросе прибыль выше.

Для третьего варианта вероятностей:

В₁ = 0, 1∙112500+ 0,1∙112500 + 0,8∙112500 = 112500 руб.

В₂ = 0,1∙67500 + 0,1∙168750 + 0,8∙168750 = 158625 руб.

В₃ = 0,1∙22500+ 0,1∙164250 + 0,8∙225000 = 198675 руб.

В_I = max(112500; 158625; 198675) = 198675 = В₃  С₃  The best (Bayes)

Таким образом, при таком спросе лучше закупать по 4 коробки. Тогда средняя прибыль составит 198675 руб.

В данном случае лучше закупать по 4 коробки и получим в среднем 198675 руб. прибыли. То есть такая информация побуждает нас сменить решение.

Теперь применим критерий Сэвиджа для стратегий продажи дисков без скидки и со скидкой. Построим матрицы рисков:

1. Без скидки:

Используем формулу: r_ij=max a_ij-a_ij

Таким образом, по критерию Сэвиджа наилучшей является стратегия С₂, то есть при закупке 3 коробок мы рискуем потерять наименьшее значение относительно других возможных вариантов.

2. Со скидкой:

Таким образом, по критерию Сэвиджа наилучшей является стратегия С₂, то есть при закупке 3 коробок мы рискуем потерять наименьшее значение относительно других возможных вариантов.

Следовательно продажа дисков со скидкой 3% является оптимальным решением.