Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» (НГУ)

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР УНИВЕРСИТЕТА

УТВЕРЖДАЮ:

Председатель Ученого совета СУНЦ НГУ

д.ф.-м.н., профессор Н.И. Яворский

Программа лекционного курса по математике

на двухгодичном потоке ФМШ

I семестр

(Лектор – к.ф.-м.н., профессор А.С. Марковичев)

Аннотация программы

Учебная дисциплина «Математика» имеет своей целью: обучение школьников основам современной математики, формирование у школьников системного подхода к решению теоретических и практических задач, понимания места математики среди других наук, умения применять математические знания для решения задач из других областей науки – физики, химии, биологии, экономики и др.; формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики; развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности; овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни; для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки; воспитание средствами математики культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.

В результате обучения учащиеся будут способны знать/понимать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время границы применимости математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии; универсальный характер законов математической логики, их применимость во всех областях человеческой деятельности, четко различать следствия и эквивалентность в проводимых логических рассуждениях; вероятностный характер многих моделей при изучении сложных процессов окружающего мира.

В результате освоения программы учащиеся будут уметь: выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, обращать внимание на сохранение равносильности; вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования; определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; строить эскизы графиков изученных функций; описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы; исследовать функции на монотонность и непрерывность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики элементарных функций и их комбинаций с использованием аппарата математического анализа; вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной; решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы; составлять уравнения и неравенства по условию задачи; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод; изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем; решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов; распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, сопровождая построения доказательствами; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, величин углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

Обучаемые по программе «Математика» будут способны использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: практических расчетов по формулам, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства; решать простейшие прикладные задачи на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения; построения и исследования простейших математических моделей, в том числе и социально-экономической направленности; анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; анализа информации статистического характера; исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства; описания с помощью функций различных зависимостей, интерпретации графиков.

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: лекции, практические занятия, контрольные работы, самостоятельная работа учащихся.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий контроль успеваемости в форме контрольных работ, месячного балла, промежуточный контроль в форме зачета. Формы итогового контроля определяются решениями Ученого совета СУНЦ НГУ, действующими в течение текущего учебного года.

Программой дисциплины предусмотрены: 132 часов лекционных и 372 часа практических занятий за два года обучения.

1. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ. (6 часов)

Множества и основные операции над ними (объединение, пересечение, разность). Принцип свертывания и выделения, парадокс Рассела. Геометрические иллюстрации совпадения множеств (медиатриса отрезка, биссектриса угла). Теоремы о пересечении биссектрис углов треугольника, медиатрис сторон треугольника, высот треугольника.

Отображение множеств, области определения и значений отображения. Образ, прообраз, полный прообраз элемента. Вложения и наложения (инъективные и сюръективные отображения), взаимно однозначные отображения (биекции), простейшие примеры. Композиция отображений, теорема о необходимом и достаточном условии биективности отображения, обратное отображение.

Функции, способы их задания; график функции, теорема о графике. Обратимые функции, график обратной функции. Возрастающие, убывающие функции. Теорема об обратимости монотонной функции. Функции с симметричным графиком, четные, нечетные функции. Теорема о представлении функции в виде суммы четной и нечетной функций. Периодические функции. Простейшие преобразования графиков функций.

2. ИНДУКЦИЯ И КОМБИНАТОРИКА. (6 часов)

Понятие натурального ряда чисел. Аксиоматика Пеано. Рекурсивные определения сложения и умножения натуральных чисел. Эквивалентность принципа математической индукции и принципа наименьшего числа. Применение математической индукции. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Неравенство среднего арифметического и среднего геометрического. Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля.

Конечные множества. Формула перекрытий. Упорядоченные множества. Перестановки, размещения, сочетания и их свойства. Комбинаторный вывод формулы бинома Ньютона. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями.

3. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. (6 часов)

Множество целых чисел и операции на нем. Делимость, свойства делимости. Простые числа, бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики.

Деление с остатком. Системы счисления. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида. "Китайская" теорема об остатках. Критерий разрешимости диофантовых уравнений вида .

Сравнения по модулю m, арифметические операции над ними. Признаки делимости на 3, 9 и 11. Кольцо Z / mZ вычетов по модулю m. Поле вычетов по простому модулю. Малая теорема Ферма, теорема Эйлера, теорема Вильсона.

4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. (10 часов)

Определение рационального числа как класса равных дробей. Теорема о единственности записи рационального числа в виде несократимой дроби. Операции над рациональными числами, поле рациональных чисел. Отношение порядка, плотность множества рациональных чисел. Аксиома Архимеда и ее следствия. Построение рациональной числовой прямой; отсутствие на ней точки, соответствующей .

Конечные десятичные дроби. Десятичное представление рационального числа, его периодичность. Изображение десятичной дроби на прямой. Аксиома Кантора для прямой. Взаимно однозначное соответствие между точками прямой и бесконечными десятичными дробями, не имеющими "хвоста" из девяток. Определение действительного числа.

Порядок на множестве действительных чисел. Десятичные приближения с недостатком и с избытком действительных чисел. Теорема о разделяющей точке. Существование нижней и верхней граней непустого ограниченного множества. Единственность разделяющей точки; соприкасающиеся множества. Теорема о последовательности вложенных друг в друга промежутков. Сложение действительных чисел, его основные свойства. Теорема о том, что − единственное число, разделяющее множества сумм рациональных чисел, меньших-больших a и b. Умножение действительных чисел, его основные свойства.

II семестр

5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ.(8 часов)}

Определение последовательности, способы задания последовательностей. График последовательности. Предел последовательности (формулировка на языке " " и на языке "почти все"). Примеры нахождения пределов последовательностей. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим по модулю 1. Расходящиеся последовательности - определение и примеры. Единственность предела. Теорема о переходе к пределу в неравенстве, следствия из нее. Теорема о зажимающих последовательностях. Ограниченность сходящейся последовательности. Нахождение пределов , , , .

Бесконечно малые последовательности. Лемма о бесконечно малых. Теорема о пределе суммы и произведения последовательностей (два доказательства: с помощью леммы о бесконечно малых и непосредственное). Теорема о пределе частного. Использование арифметики пределов для нахождения пределов последовательностей (k – целое); .

Бесконечно большие последовательности; последовательности, расходящиеся к и ; теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Монотонные последовательности; теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Метод последовательных приближений на примере алгоритма вычисления корня квадратного из числа. Число e как предел последовательности и как предел последовательности . Иррациональность числа e. Нахождение e как при .

6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ДЛИНА ДУГИ. (4 часа)

Свойство периметров содержащих друг друга выпуклых многоугольников. Определение длины окружности как числа, разделяющего множества периметров вписанных и описанных многоугольников. Длина окружности, как предел периметров правильных многоугольников, получающихся удвоением числа сторон исходного. Число . Формула для вычисления длины окружности. Длина дуги окружности. Формула для вычисления длины дуги окружности. Градусное и радианное измерение углов.

Длина спрямляемой кривой.

7. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ. НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРИИ. (16 часов)

Направленные отрезки на плоскости и в пространстве; равенство направленных отрезков. Определение вектора. Сложение векторов, умножение вектора на число; основные свойства этих операций. Теорема о делении отрезка в данном отношении. Коллинеарные векторы, компланарные векторы. Теорема о единственности разложения произвольного вектора пространства по тройке некомпланарных векторов; плоский аналог этой теоремы. Базис на плоскости и в пространстве, координаты вектора. Ортонормированный базис. Система координат на плоскости и в пространстве.

Определение числовой окружности, связь числовой окружности с числовой прямой. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Синус, косинус, тангенс и котангенс суммы и разности двух чисел. Вывод основных тригонометрических формул (тригонометрические функции двойного и половинного аргумента, преобразование суммы и разности функций в произведение и обратно). Простейшие свойства тригонометрических функций, их основные периоды и графики.

Общие свойства периодических функций и их периодов. Непериодичность функций , . Простые гармонические колебания. Тригонометрический двучлен . Сумма двух простых гармонических колебаний. Биения. Тригонометрический многочлен . Степень тригонометрического многочлена. Приближение функции тригонометрическими многочленами.

Обратные тригонометрические функции , , arctg , arcctg , основные соотношения между ними и их графики. Решение простейших тригонометрических уравнений , , , и простейших тригонометрических неравенств.

Скалярное произведение векторов плоскости; его основные свойства. Выражение скалярного произведения в координатной форме. Скалярное произведение векторов пространства; его основные свойства, доказательство дистрибутивности. Выражение скалярного произведения в координатной форме. Условия коллинеарности и ортогональности двух векторов пространства, заданных в координатной форме. Теорема косинусов, теорема синусов. Неравенство Коши-Буняковского. Геометрическая интерпретация некоторых векторных соотношений. Теорема косинусов для трехгранного угла.

Общее уравнение прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки плоскости до прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение плоскости в пространстве. Угол между плоскостями. Расстояние от точки пространства до плоскости. Параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми.

8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ. (6 часов)

Два определения предела функции в точке и их эквивалентность. Арифметика пределов функций. Функции, ограниченные в точке. Непрерывность функции в точке. Геометрическая иллюстрация непрерывности в точке. Точки разрыва. Аналоги теорем о переходе к пределу в неравенстве для непрерывных функций. Арифметика непрерывных функций. Непосредственное доказательство непрерывности частного двух непрерывных функций. Непрерывность композиции непрерывных функций. Непрерывность функции, обратной к непрерывной.

Замечательный предел . Непрерывность тригонометрических функций.

Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Существование арифметического корня из действительного числа, существование корня у многочлена нечетной степени. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывных на отрезке функций. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.