Тема 2. Системы массового обслуживания (смо)

СМО – это системы, где многократно повторяются одни и те же однотипные процессы, связанные с обслуживанием (склады, магазины, автозаправки, ремонтные мастерские, телефонные сети и т. п.). Основные составляющие СМО: канал обслуживания (грузчик, кассир, ремонтная бригада, телефонный аппарат и т. п.) и поток требований или заявок (покупатели, клиенты, абоненты и проч.).

Канал обслуживания характеризуется двумя параметрами: t_обсл.– среднее время обслуживания одного требования одним каналом; μ – интенсивность обслуживания, это количество требований, обслуживаемых одним каналом в ед. времени. Связь между ними: μ = 1/ t_обсл.; t_обсл.=1/ μ.

Требования (заявки) характеризуются также двумя параметрами: Т – среднее время между двумя последовательными заявками; λ – интенсивность поступления заявок, это количество заявок, поступающих в ед. времени. Связь между ними: λ = 1/Т; Т = 1/λ.

Параметр загрузки ρ =λ/μ – важнейшая характеристика СМО, показывает соотношение интенсивности поступления требований с интенсивностью их обслуживания.

СМО может иметь несколько каналов обслуживания. Обычно считают, что интенсивность обслуживания у них одинаковая. По количеству каналов различают:

– одноканальные СМО, имеющие один канал обслуживания (n=1);

– многоканальные СМО, когда каналов обслуживания два и более (n ≥2).

По наличию очереди различают следующие виды СМО: с отказом (без очереди); с ожиданием (очередь неограниченная); смешанного типа (очередь ограничена).

В дальнейшем будут рассматриваться системы Марковского типа. Отличительным свойством таких систем является отсутствие последействия: будущее системы зависит только от её состояния в данный момент и не зависит от того, что было до этого момента. Поток заявок при этом называется простейшим. Для систем такого типа имеются математические модели, одной из которых мы и воспользуемся ниже для решения задачи.

Задача 11–21. Отгрузка производится со склада имеющего n погрузочных площадок. На склад для погрузки поступает простейший поток грузовиков с интенсивностью λ машин в час. Среднее время погрузки одной машины составляет t_обсл минут. Если все погрузочные площадки заняты, то грузовики становятся в очередь.

n = 4; λ = 9 маш./час; t_обсл.= 24 мин.; к =2.

1) Укажите вид системы обслуживания.

2) Определите интенсивность обслуживания и параметр загрузки системы.

3) Сколько погрузочных площадок должен иметь склад, чтобы очередь не была бесконечной? Выполняется ли это условие для данной СМО?

4) Перечислите возможные состояния СМО и найдите соответствующие им вероятности.

5) Найдите вероятность того, что очереди нет.

6) Какова вероятность наличия очереди?

7) Какова вероятность того, что в очереди не более «k» грузовиков? Более чем «k» грузовиков?

8) Найдите среднее количество грузовиков в очереди.

9) Каково среднее число грузовиков на обслуживании?

10) Каково среднее число грузовиков на складе?

11) Укажите среднее время пребывания грузовика в очереди.

12) Найдите среднее время пребывания грузовика на складе.

Оцените работу склада с помощью показателей эффективности, найденных в пунктах 5 – 12.