Линейные неоднородные стационарные разностные уравнения второго порядка
Теорема.
Если
- частное решение неоднородного линейного
СРУ, а
общее
решение соответствующего ему однородного
уравнения, то общее решение неоднородного
ЛСРУ имеет вид:
=
,
Пример.
Решим
уравнение
+ 9
Общее решение соответствующего ему однородного уравнения найдено выше. Предположим, что частное решение данного неоднородного уравнения имеет вид:
= U=const.
Тогда
ЛСРУ
найдено:
+
+
Нестационарные линейные разностные уравнения первого порядка
Рассмотрим уравнение вида
+
=
(4)
где
всех
- искомая
функция
Уравнение (4) – неоднородное линейное разностное нестационарное уравнение первого порядка. Для него имеет место теорема, аналогичная теореме из п. 4.
Пусть
+
(
Очевидно,
,
… ,
Используя
символ произведения
или
,
(5)
где
C =
Формула
(5) называется формулой общего
решения уравнения
(
Для решения неоднородного уравнения (4) применим метод вариации постоянной: будем считать С не произвольной постоянной, а некоторой функцией аргумента
Итак, общее решение неоднородного уравнения ищем в виде
,
(
)
Подставим ( ) в (4):
Отсюда
или
,
(6)
Поскольку
для всех
Из (6) получаем
и, следовательно,
(7)
Это общее решение линейного неоднородного разностного уравнения первого порядка (4).
Пример.
Решить уравнение
–
.
Решение.
=
.
Подробнее:
=
+
=
.
Отсюда 1 = А (i+4) + B(i+ 2).
Если
i =-4, то
1= -2B
и B = -
.
Если I = - 2, то 1 = 2A и A = .
)
=
(
-
+
-
+
-
+
+
+ …
+
+
-
Ответ:
)
Примерная тематика контрольной работы
Определить и обосновать вид дифференциального уравнения (ДУ)1-го порядка. Найти его общее решение и, при наличии начальных условий, также и частное решение.
Решить ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Найти общее решение стационарного линейного разностного уравнения второго порядка. Найти соответствующее указанным начальным условиям частное решение.
Решить линейное разностное уравнение первого порядка.
Задания
=
0,
1.2
ln
,
=
)
=
.
1.3
,
=
,
.
1.4
1.5
(1 +
)
+
,
1.6
(1 +
)
+
=1,
1.7
= 0,
+
1.8
= -
,
1.9
= 0,
= 2,
1.10
+
,
=
,
2.
Уравнения |
|
|
|
|||
Параметры |
N |
M |
|
A |
B |
|
Вариант 1 |
4 |
4 |
|
-1 |
1 |
|
Вариант 2 |
2 |
2 |
|
4 |
3 |
|
Вариант 3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
|
Вариант 4 |
7 |
6 |
|
-6 |
9 |
|
Вариант 5 |
1 |
8 |
|
5 |
-6 |
|
Вариант 6 |
-10 |
25 |
|
1 |
2 |
|
Вариант 7 |
-4 |
5 |
|
8 |
7 |
|
Вариант 8 |
6 |
9 |
|
1 |
1 |
|
Вариант 9 |
-1 |
5 |
|
-5 |
-4 |
|
Вариант 10 |
0 |
5 |
|
3 |
3 |
|
+
+
(
3.
+
9
+
6
= 3,
3.3.
3.4.
=
2,
2
2
-
4
3.
8. 4
6
=
8,
4.1
.
4.2
.
4.3
.
4.4
.
4.5
=
.
4.6
4.7
=
4.8
=
.
4.9
!
4.10
+
.