6.2.2. Теорема о взаимности перемещений

 

По-прежнему рассмотрим состояния i и j одного и того же сооружения (рис. 6.11). В состоянии i на него действует сила F_i = 1, а в состоянии j – сила F_j = 1. Зафиксируем возможные перемещения   и  , возникающие в состояниях i и j от единичных сил.

Для состояний сооружения i и j применим теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см. соотношение (6.3)):

,    или          .                                                             (6.4)

Соотношение (6.4) выражает содержание теоремы о взаимности перемещений: перемещение по направлению линии действия i-й единичной обобщённой силы, вызванное j-й единичной обобщённой силой, равно перемещению по направлению линии действия j-й обобщённой силы от i-й единичной обобщённой силы. В строительной механике эта теорема известна как теорема английского физика и механика Джеймса Максвелла (1831–1879).

Рис.6.11

 

Теорема о взаимности перемещений широко применяется в расчётах линейно деформируемых систем, в частности, в расчётах статически неопределимых систем методом сил, при построении  линий  влияния  перемещений в  стержневых  сооружениях.

Выше был рассмотрен случай, когда в состоянии i и j сооружения действуют единичные сосредоточенные силы (рис. 6.11), т.е. силы, имеющие одинаковую природу и одинаковую размерность. На рис. 6.12 рассмотрена ситуация, когда в состоянии i на сооружение действует сосредоточенная сила F_i = 1, а  состоянии j – сосредоточенный момент M_j = 1. Здесь же показаны и возможные перемещения   и  , вызываемые упомянутыми силами F_i = 1 иM_j = 1. Кажущееся противоречие в размерностях перемещений   и  , равенство которых определено соотношением (6.4), отпадает, если мы примем во внимание, что каждое из этих перемещений является удельным перемещением, т.е. что оно вызывается обобщённой силой, имеющей не произвольное, а единичное значение. Таким образом, размерность какого-либо удельного перемещения есть отношение размерности рассматриваемого обобщённого перемещения к размерности обобщённой силы, вызвавшей это перемещение. В случае, рассмотренном на рис. 6.12, имеем:

= см/кНсм = кН^-1,       = рад/кН = кН^-1,

т.е. оба перемещения имеют одинаковую размерность.

Рис.6.12

 

 19Определение перемещений в стержневых системах

наиболее общим методом определения перемещений в стержневых системах является метод Мора(иногда говорят: Максвелла – Мора), в основе которого лежат два основных принципа механики:начало возможных перемещений и закон сохранения энергии. Прежде чем перейти к изложению метода, остановимся на его основных теоретических предпосылках.

Вычислений перемещений методом Мора

 

Излагаемый ниже метод является универсальным методом определения перемещений (как линейных так и угловых), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы. Пусть в первом из них (грузовое состояние) к балке приложена любая произвольная нагрузка, а во втором (единичное состояние) – сосредоточенная сила  (рис.25).

Работа А21 силы   на перемещении  , возникающем от сил первого состояния:

.

Рис.25

Используя (2.14) и (2.15), выразим А21 (а, значит, и  ) через внутренние силовые факторы:

                 (2.17)

Знак “+”, полученный при определении  , означает, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичной силы. Если определяется линейное смещение, то обобщенная единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную единичную силу, приложенную в рассматриваемой точке; а если определяется угол поворота сечения, то обобщенная единичная сила – это безразмерный сосредоточенный единичный момент.

Иногда (2.17) записывается в виде:

                (2.18)

где  - перемещение по направлению силы  , вызванное действием группы сил  . Произведения, стоящие в знаменателе формулы (2.18), называются соответственно жесткостями при изгибе, растяжении (сжатии) и сдвиге; при постоянных по длине размерах сечения и одинаковом материале эти величины можно выносить за знак интеграла. Выражения (2.17) и (2.18) называютсяинтегралами (или формулами) Мора.

Наиболее общий вид интеграл Мора имеет в том случае, когда в поперечных сечениях стержней системы возникают все шесть внутренних силовых факторов:

    (2.19)

 

Алгоритм вычисления перемещения методом Мора состоит в следующем:

 

1. Определяют выражения внутренних усилий от заданной нагрузки как функций координаты  Z  произвольного сечения.

2. По направлению искомого перемещения прикладывается обобщенная единичная сила (сосредоточенная сила – при вычислении линейного перемещения; сосредоточенный момент – при вычислении угла поворота).

3. Определяют выражения внутренних усилий от обобщенной единичной силы как функций координаты Z произвольного сечения.

4. Подставляют выражение внутренних усилий, найденные в п.п.1,3 в (2.18) или (2.19) и интегрированием по участкам в пределах всей длины конструкции определяют искомое перемещение.

Формулы Мора пригодны и для элементов, представляющих собой стержни малой кривизны, с заменой элемента длины dz в подынтегральном выражении элементом дуги ds.

В большинстве случаев плоской задачи используется только один член формулы (2.18). Так, если рассматриваются конструкции, работающие преимущественно на изгиб (балки, рамы, а частично и арки), то в формуле перемещений с соблюдением достаточной точности можно оставить только интеграл, зависящий от изгибающих моментов; при расчете конструкций, элементы которых работают, в основном, на центральное растяжение (сжатие), например, ферм, можно не учитывать деформации изгиба и сдвига, то есть в формуле перемещений останется только член, содержащий продольные силы. Аналогично, в большинстве случаев пространственной задачи существенно упрощается формула Мора (2.19). Так, когда элементы системы работают преимущественно на изгиб и кручение (например, при расчете плоско-пространственных систем, ломаных стержней и пространственных рам) в (2.19) остаются только первые три члена; а при расчете пространственных ферм – только четвертый член.

. 20 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Формула Мора (5.22) -(5.24) может быть представлена в виде

где   - взаимный угол поворота торцовых сечений элемента   стержня от заданной нагрузки;   - взаимное смещение их в направлении оси стержня;   взаимное смещение их в направлении нормали к оси стержня (см. § 5.1).

В таком виде формула Мора может быть использована, когда деформации   элемента   стержня вызваны не только внутренними усилиями в его поперечных сечениях от нагрузки, но и действием температуры на сооружение. Следовательно, формулой Мора в приведенном виде можно пользоваться и для определения перемещений системы, вызванных действием температуры.

Рис. 5.28

Пусть верхнее волокно элемента dx нагрето на   а нижнее — на   (рис. 5.28).

Распределение температуры по высоте поперечного сечения примем по прямолинейному закону.

При температурном коэффициенте линейного расширения а удлинение верхнего волокна равно  , а удлинение нижнего волокна составляет   Осевое удлинение   можно получить как среднее арифметическое указанных величин (при поперечном сечении, симметричном относительно горизонтальной оси):

Угол взаимного поворота крайних поперечных сечений (элемента dx) равен:

Деформации сдвига в элементе   от действия температуры не возникают, т. е.  .

Подставив найденные значения в выражение (5.29), получим формулу для отыскания температурных перемещений:

Знаки   означают суммирование по всем стержням и участкам сооружения.

При вычислении перемещения   интегрирование распространяется лишь на те элементы сооружения, температурный режим

которых изменился. Для случая прямолинейных или ломаных стержней постоянного сечения интегралы могут быть подсчитаны как площади единичных эпюр, и формула перемещений принимает простой вид:

Здесь   — площади единичных эпюр М и 

При поперечном сечении элемента, несимметричном относительно горизонтальной оси, в формулы вместо   входит выражение  , где у — расстояние от нижнего волокна элемента до горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения.

Знаки членов формулы   определяют так: если деформации элемента   от температуры и от единичной силы аналогичны, то знак соответствующего члена будет положительным, и наоборот.

При определении перемещений от действия на сооружение температуры нельзя пренебрегать членом формулы, зависящим от продольной силы.

Пример. Для ломаного бруса, изображенного на рис. 5.29, а, отыскать вертикальное перемещение точки С, если температура снаружи не изменилась, а внутри повысилась на 10°С (рис. 5.29, а).

Рис. 5.29

Решение. По направлению искомого перемещения прикладываем единичную силу и строим от нее эпюры N и М (рис. 5.29, б, в).

Подсчитаем площади единичных эпюр:

Найдем температурные сомножители:

Последняя запись указывает на то, что разность температур берется по абсолютной величину.

Температурное воздействие вызывает удлинение внутренних волокон бруса, а единичная сила — их укорочение; поэтому у члена формулы температурных перемещений, учитывающего изгибающие моменты, следует поставить знак минус. Знак минус надо поставить и перед членом с продольной силой, так как изменение температуры вызывает удлинение стойки, а действие единичной силы — укорочение стойки. Таким образом,