10.12 Задача оптимизации прокладки дороги

Данная задача имеет очень большое экономическое значение. Ее решение особенно актуально в условиях освоения сибирского Севера, обладающего огромными запасами природных ресурсов и может принести большой экономический эффект.

Задача решается методом динамического программирования.

Пример решения задачи оптимизации прокладки дороги

Планируется проложить дорогу из пункта А в пункт В. Имеется план местности, изображенной на рисунке 10.15.

Затраты на прокладку 1 км

через лес - 50-100 у.д.е;

в гористой местности- - 150-200 у.д.е

через болото - 100-150 у.д.е;

через реку (100-150 у.д.е;

поляна (5-15 у.д.е)

Рисунок 10.15 План местности

По такому плану можно хотя бы примерно оценить стоимость прокладки дороги между любой парой рядом расположенных точек.

Для упрощения задачи, принимаем, что прокладка дороги может производиться только в направлениях Ю-С и З-В (юг-север и запад-восток). При более точных направлениях прокладки дороги суть задачи не меняется, только резко увеличивается ее размерность. Эта стоимость определяется рельефом местности, что отражено в примере на рисунке 10.16 над горизонтальными линиями и справа от вертикальных линий.

На рисунке между кружками указана примерная стоимость прокладки дороги между соседними участками местности (без привязки к исходным данным, приведенным выше).

Рис. 10.16 Пример исходных данных оптимизации прокладки дороги

Здесь используются элементы теории графов. Кружки – вершины графа, соответствующие координатам участков местности. Соединяющие их линии – ребра графа – возможные участки дороги, соединяющие эти участки.

В конечное состояние система может перейти из состояния 23 с запада, или из состояния 18 с юга. Для этого требуются затраты материальных ресурсов в объеме 11 и 14 , соответственно. Эти числа ставим над соответствующими кружками, и соответствующие пути обозначаем стрелками (см. рисунок 5.17).

В конечное состояние система может перейти с запада из состояния 22 через состояние 23 (для этого потребуется 11+10=21 стоимости), или с юга из состояния18 (для этого потребуется 12+14=26 стоимости). Ставим 21 и 26 над соответствующими кружками.

В конечное состояние система может перейти и из состояния 17. Причем, здесь появляются два альтернативных варианта: или через состояние 23 (на север), или через 18 (на запад). В первом случае суммарные затраты составят 26 (11+15=26), а во втором – 31 (14+17=31). Над кружком 17 ставим наименьшее из полученных чисел и стрелку направляем в состояние 23, обеспечивающее минимум затрат на прокладку пути на этом этапе.

Из состояния 16 в конечный пункт можно попасть через 22 и 23. Для этого потребуется 21+4=25. Однако из пункта 16 можно двигаться и через 17 и 23 (по стрелкам). В этом случае понадобится 26+10=36. Над кружком 16 ставим наименьшее из чисел и проводим соответствующую стрелку.

В дальнейшем процесс решения разворачивается алогично. Результатом решения является схема, изображенная на рисунке 10.17.

Рисунок 10.17. Пример решения задачи оптимизации прокладки дороги

Из схемы следует, что минимально возможные суммарные затраты на прокладку пути – 77. Оптимальная траектория прокладки дороги, обеспечивающая минимум затрат: С-В-С-В-В-С-В-В.