8.5 Логистическая задача оптимизации производственной программы и оптимизации запасов ресурсов

Одной из важнейших задач логистики является задача оптимизации величины запасов ресурсов, необходимых для реализации производственной программы. Излишние запасы ресурсов приводят к увеличению потерь предприятия связанных с хранением этих излишков и потерь вследствие иммобилизации финансовых средств. Дефицит ресурсов приводит к недовыпуску продукции и к связанным с этим потерям (потери прибыли, штрафы предприятиям посредникам и пр.)

Задача оптимизации производственной программы предприятия в простейшем случае имеет вид:

(8.11)

(8.12)

где c_ij – нормы расхода j-того вида ресурсов на производство единицы i-того вида продукции;

C_j – запасы ресурсов j-того вида;

n- количество видов продукции;

m – количество видов ресурсов;

F - целевая функция;

p_i – прибыль от реализации единицы i-того вида продукции.

Под ресурсами здесь следует понимать сырье, материалы, оборудование, трудовые ресурсы и пр.

Решение этой задачи позволяет при имеющихся запасах ресурсов определить оптимальное количественное соотношение выпускаемых изделий, но никак не учитывает потерь, связанных с хранением излишних запасов и с иммобилизацией денежных средств, связанных с этими излишками.

Н а рисунке 8.32 приведен пример графического решения такой задачи для двух видов продукции и трех видов сырья. В данном случае, очевидно, что третий вид сырья находится в избытке, а выпуск продукции ограничивается запасами сырья двух первых видов.

Рисунок 8.32 Пример графического решения задачи формирования производственной программы

Здесь grad F – градиент целевой функции F – вектор, указывающий направление и скорость изменения функции. X_{1 opt} и X_{1 opt} – оптимальное количество продукции, которое может обеспечить максимальное получение значения целевой функции (в данном случае – прибыли). При этом ресурсы первого и второго видов будут израсходованы полностью, а ресурсы третьего вида оказываются в избытке.

О сновной целью закупочной логистики является полное использование имеющихся запасов. Очевидно, что с экономической точки зрения целесообразно реализовать излишние ресурсы (на рисунке 8.32 – линия 3) и на вырученные средства закупить дефицитные (линии 1 и 2). Однако и это не гарантирует получение максимального экономического эффекта (максимальной прибыли, минимальных затрат на хранение и пр.). На рисунке 8.33 приведен пример казалось бы оптимальной производственной программы выпуска двух видов продукции, при полном использовании необходимых для этого видов ресурсов.

Рисунок 8.33 Пример полного использования запасов

Использование двойственного симплекс-метода показывает преимущества изменения одного ограничения по отношению с другими. Пусть, например, в приведенной задаче двойственная оценка по второму ограничению оказалась выше, чем по первому. Следовательно, увеличение запасов второго ресурса за счет реализации (продажи) первого позволит улучшить результаты решения. Очевидно, что в данном случае оптимальное решение будет лежать на оси Х₁.

И ллюстрация, соответствующая этому случаю, приведена на рисунке 8.34.

Рисунок 8.34 Пример наиболее эффективной организации запасов ресурсов

Таким образом, задача оптимизации величины запасов ресурсов не должна заканчиваться на этапе, характеризующемся отсутствием их излишков. Ее решение должно продолжаться путем реализации некоторой части ресурсов, приносящих меньшую прибыль с целью приобретения ресурсов более ценных с точки зрения целевой функции. Такой итерационный метод характеризуется значительной трудоемкостью и в принципе не гарантирует абсолютно полное использование ресурсов.

Увеличение запасов одного вида ресурсов за счет остальных в пределе приводит к выпуску только одного вида изделий, дающему наибольшую прибыль. С одной стороны такая узкая специализация позволяет разработать самую простую типовую схему движения предметов труда, минимизировать внутрипроизводственные связи, улучшить качество продукции и пр. В таком случае математическая модель задачи упрощается и принимает вид:

(8.13)

(8.14)

где r– номер наиболее рентабельной продукции;

X_r – количество наиболее рентабельной продукции;

Р_k –прибыль от реализации этой продукции.

Эта задача состоит не только в определении объема выпуска продукции X_r, но и в определении величины запасов необходимых для этого ресурсов C_i

С учетом того, что все запасы должны быть израсходованы полностью, они должны быть пропорциональны их нормам расхода. При изменении запаса одного ресурса соответствующим образом должны быть изменены и запасы других ресурсов, потребляемых при производстве программирования видов продукции. Запасы ресурсов естественно должны быть пропорциональны нормам их расхода:

(8.15)

или с учетом (8.13)

(8.16)

Суммарная стоимость используемых ресурсов

(8.17)

где d_i - стоимость единицы ресурса i-того вида.

С учетом (8.13)

(8.17)

Отсюда легко определяется X_r

(8.18)

и по (3) необходимые для этого запасы ресурсов в пределах имеющихся финансовых возможностей.

В условиях острой конкурентной борьбы и с учетом возможного насыщения рынка такой подход далеко не всегда допустим, в связи с чем, в математическую модель приходится вводить соответствующие дополнительные ограничения. Если имеется ограничение по реализации k-того вида продукции (ограничение сверху), то математическая модель должна быть дополнена ограничением вида:

(8.19)

где X_k;max – максимально возможный объем реализации k-того вида продукции.

Если же в силу определенных обстоятельств (например, строго оговоренные поставки) выпуск определенного вида продукции должен быть не менее заданного, (ограничение снизу), то модель дополняется ограничением:

(8.20)

где -X_g;min - минимально допустимый объем выпуска g-того вида продукции.

В первом случае X_k оказывается заданным. На производство этого вида продукции потребуются определенные деньги. Тогда задача сводится к определению количества второго по рентабельности вида продукции Х_k2 по формуле

(8.21)

где - затраты на предельно допустимый объем выпуска наиболее рентабельной продукции.

На рисунке 8.35 приведен пример графического решения этой задачи при

Х₁

Х_1ДОП

Рисунок 8.35 пример графического решения этой задачи при

Если же выпуск некоторого вида продукции ограничен снизу, то

(8.22)

где - затраты на производство обязательной продукции.

Обобщая формулы (8.21) и (8.22) для любого числа ограничений сверху и снизу на выпуск продукции можно получить формулу, позволяющую определять объем наиболее рентабельной продукции из числа тех, на которые данные ограничения не распространяется

(8.23)

где m – количество видов продукции, на объем производства, которых наложены ограничения.

При этом запасы ресурсов должны вычисляться по формуле

(8.24)

Применение этих формул позволяет оптимизировать запасы ресурсов (запасы используются полностью, их остатки равны нулю), свести к минимуму затраты, связанные с их хранением и обеспечивает максимальный выпуск наиболее рентабельной продукции при выполнении всех наложенных ограничений, что обеспечит получение максимальной прибыли.