Обобщения алгоритма Джонсона

1. В обработку сначала запускают детали, требующие минимальное время обработки на первом станке в порядке возрастания этого времени.

2. В обработку запускаются сначала детали, требующие максимальное время обработки на последнем станке в порядке убывания этого времени.

3. В обработку запускаются сначала детали, у которых “узкое место” находится дальше от начала процесса обработки. “Узким местом” для данной детали называется станок, на котором обработка этой деталей занимает наибольшее время (в таблице 7.4 эти детали выделены курсивом).

4. Обрабатываются вначале детали, у которых суммарное время обработки на всех станках максимальное в порядке убывания этого времени.

Каждое из вышеописанных обобщений алгоритма Джонсона в определенных условиях имеет свои преимущества и свои недостатки. Каждое из этих правил в определенной степени логично. Применение первого из них способствует скорейшему вовлечению в обработку второго станка. Второе правило позволяет уменьшить конечный простой первого станка. Третье правило способствует наиболее быстрому "проскакиванию" к концу технологической линии тех деталей, для которых обработка на первом станке занимает меньшее время, с тем, чтобы освободить первый станок деталям, для которых он является «узким местом». К сожалению, эти правила несовместимы друг с другом: последовательность обработки, найденная с использованием одного из них, не соответствует последовательности, полученной по другим правилам.

Пятый метод решения этой задачи основан на усреднении результатов решения задачи по четырем известным рекомендациям. Рассмотрим следующий пример обработки 8 деталей на 5 станках. Исходные данные приведены в таблице 8.1.

Таблица 8.1 Исходные данные примера

Станок	Время обработки, мин
	Деталь
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	5	3	7	9	4	1	8
2	10	1	5	7	3	8	2	9
3	5	8	10	4	1	3	9	2
4	7	5	2	4	10	1	8	6
5	1	10	3	5	7	4	2	11
Суммарное время обработки	25	29	23	27	30	20	22	36

В результате решения задачи по четырем вышеуказанным рекомендациям получаем такой порядок запуска деталей в обработку:

- по первой рекомендации: 7-1-3-6-2-4-8-5;

- по второй рекомендации: 2-8-5-4-6-3-7-1;

- по третьей рекомендации: 2-8-5-7-3-1-6-4;

- по четвертой рекомендации: 8-5-2-4-1-3-7-6.

Примечание. Если по какой-либо рекомендации две, или больше деталей оказываются равноценными, то для определения их приоритетов следует воспользоваться какой-либо другой рекомендацией.

Например, по третьей рекомендации вторая и восьмая детали равноценны, но по первой рекомендации целесообразно в обработку запустить сначала вторую деталь, так как время ее обработки на первом станке меньше, чем у восьмой детали.

Для каждой детали найдем сумму мест во всех полученных решениях:

первая деталь: (2 + 8 + 6 + 5) = 21;

вторая деталь: (5 + 1 + 1 + 3) = 10;

третья деталь: (3 + 6 + 5 + 6) = 20;

четвертая деталь: (6 + 4 + 8 + 4) = 22;

пятая деталь: (8 + 3 + 3 + 2) = 16;

шестая деталь: (4 + 5 + 7 + 8) = 24;

седьмая деталь: (1 + 7 + 4 + 7) = 19;

восьмая деталь: (7 + 2 + 2 + 1) = 12.

Расположим детали в порядке возрастания суммы мест: 2-8-5-7-3-1-3-6.

Это и является новым решением.

П ри решении конкретных задач для трех и более станков рекомендуется проанализировать результаты, полученные по каждому из этих правил, и в качестве окончательного варианта выбрать ту последовательность, которая обеспечивает минимум суммарного времени обработки. Для этого необходимо построить графики Ганта. (Генри Лоренс Гант (Henry Laurence Gantt) (1861-1919) американский инженер-механик и консультант по вопросам управления. Он известен как разработчик диаграммы Ганта в 1910-е гг. Диаграммы Ганта использовались для работы над крупнейшими инфраструктурными проектами,  включая плотины Гувера и системы скоростных шоссе в США, и продолжают оставаться важнейшим инструментом в управлении проектами.).

Диаграмма Ганта — это популярный тип столбчатых диаграмм который используется для иллюстрации плана, графика работ по какому-либо проекту. Первый формат диаграммы был разработан Генри Л. Гантом в 1910 году.

По сути, диаграмма Ганта состоит из полос, ориентированных вдоль оси времени. Каждая полоса на диаграмме представляет отдельную задачу в составе проекта (вид работы), её концы — моменты начала и завершения работы, её протяженность — длительность работы.

Пусть две детали должны пройти последовательную обработку на трех станках. Исходные данные этого примера приведены в таблице 8.2.

Таблица 8.2. Исходные данные примера построения графика Ганта

Станок	Время обработки детали
	1	2
1 - циркулярная пила	4	4
2 - фрезерный станок	9	5
3 - шлифовальный станок	3	6

Построение графика Ганта иллюстрируется рисунком 8.4.

Рисунок 8.4 График Ганта

Производственный цикл начинается с того, что первая деталь обрабатывается на первом станке четыре минуты, а затем передается на второй станок, где обрабатывается девять минут.

Как только освобождается первый станок, на него поступает вторая деталь и обрабатывается здесь четыре минуты, однако так как второй станок еще занят, она ждет своей очереди в течение пяти минут. Это называется пролеживанием предмета труда.

После завершения обработки второй детали на втором станке она передается на третий станок, а на освободившийся второй станок поступает первая деталь. Здесь она обрабатывается в течение пяти минут, а так как третий станок освободился на две минуты раньше, то происходит его простой, равный двум минутам.

Построение графиков Ганта – весьма трудоемкое занятие. Аналитический метод определения длительности производственного цикла состоит в следующем. Рассмотрим простой конкретный пример. Имеются три станка и комплект из трех деталей. Известно время обработки каждой детали на каждом станке, представленное в таблице 8.3.

Таблица 8.3 Время обработки деталей на станках

Станок	Время обработки детали, мин.
	1	2	3
1 - циркулярная пила	9	6	4
2 - фрезерный станок	3	4	5
3 - шлифовальный станок	5	7	6

Пусть детали запускаются в производстве в исходном порядке, то есть в порядке возрастания их номеров: 1-2-3. Для того чтобы наглядно представить процесс определения продолжительности производственного цикла, простоев оборудования и пролеживания деталей, построим график Ганта (рис. 8.5)

Рисунок 8.5 График Ганта для n=3 и m=3

Введем обозначения:

t(i,j) - время обработки j-той детали в i-том станке.

р(i,j) - время простоя i-того станка в ожидании j-той детали.

Естественно, что на первом станке простоев нет, то есть:

p(1,j)=0.

Как видно из рисунка 8.5, простои второго станка в ожидании деталей:

р(2.1)=t(1.1);

p(2,2)=[t(1,1)+p(1,1)+t(1,2)+p(1,2)]-[t(2,1)+p(2,1)];

p(2,3)=[t(1,1)+p(1,1)+t(1,2)+p(1,2)+t(1,3)+p(1,3)]-

-[t(2,1)+p(2,1)+t(2,2)+p(2,2)].

Простои третьего станка:

p(3,1)=[t(1,1)+t(2,2)];

p(3,2)=[t(2,1)+p(2,1)+t(2,2)+p(2,2)]-[t(3,1)+p(3,1)];)

p(3,3)=[t(2,1)+p(2,1)+t(2,2)+p(2,2)+t(2,3)+p(2,3)]-

-[t(3,1)+p(3,1)+t(3,2)+p(3,2)].

С учетом исходных данных, представленных в таблице 7.6, получаем:

простои первого станка: p(1,1)=0 мин; p(1,2)=0 мин; p(1,3)=0 мин;

простои второго станка: p(2,1)=9 мин; p(2,2)=[9+0+6+0]-[3+9]=3 мин; p(2,3)=[9+0+6+0+4+0]-[3+9+4+3]=0 мин;

простои третьего станка: p(3,1)=[9+3]=12 мин; p(3,2)=[3+9+4+3]-[5+12]=2 мин; p(3,3)=[3+9+4+3+5+0]-[5+12+7+2]=-2 мин.

Примечание, Знак минус в последнем выражении говорит о том, имеет место не простой станка, а пролеживание третьей детали в ожидании окончания обработки третьим станком второй детали. Величина пролеживания будет равна абсолютной величине этого числа, а величина простоя равна нулю.

Этот пример позволяет получить аналитические выражения в общем виде.

Введем обозначения:

i ­ номер станка;

n ­ число станков;

j ­ номер детали;

m ­ число деталей в комплекте;

t _{i j} ­ время обработки j-й детали на i-м станке;

t _{i j} ^ps ­ время простоя i-го станка в ожидании j-й детали;

t _{i j} ^pd ­ время пролеживания j-й детали в ожидании обработки на i-м станке.

Очевидно, что продолжительность всего производственного цикла t_c определяется суммарным временем работы и суммарными простоями последнего станка:

^. (8.1)

Причем суммарные простои последнего станка зависят от работы и простоев всего предыдущего оборудования.

Учитывая, что величина простоев любого i-того станка в ожидании j-й детали может принимать только положительные значения, ее можно определить по формуле:

, (8.2)

где Р_i/j ­ величина простоев i-го станка в ожидании j-й детали определяется по формуле:

, (i=1,...,n). (8.3)

При этом необходимо учитывать, что на первом станке простоев нет, то есть

, (j=1,...,m), (8.4)

а простои любого станка в ожидании первой детали могут быть найдены как сумма продолжительностей обработки этой детали на всех предыдущих станках:

_. (8.5)

Определение простоев оборудования имеет большое значение при непоточном производстве. При поточной же организации производства важнее минимизировать длительность пролеживания предметов труда в ожидании обслуживания.

Для определения его продолжительности можно воспользоваться аналогичными по структуре формулами, но выражение (8.3) в этом случае будет отрицательным и формула (8.5) должна иметь вид:

. (8.6)