Тема 8. Дерево рішень

Специфічним графічним інструментом аналізу проблемних ситуацій є дерева рішень. Термін отримав свою назву від деревоподібної структури схеми. За допомогою даного методу вирішується ряд завдань, коли є два або більше послідовних безлічей рішень, причому подальші рішення ґрунтуються на результатах попередніх станів середовища, тобто з'являється ланцюжок рішень, що витікають одне з іншого. Подібні задачі простіше вирішувати з використанням дерева рішень, яке є графічним зображенням послідовності рішень і станів середовища з вказівкою відповідної вірогідності і виграшів для всіляких комбінацій.

Використання дерева рішень припускає ряд етапів даної процедури.

На першому етапі формулюється завдання:

- відкидаються чинники, що не відносяться до проблеми, а ті, що залишилися, - діляться на істотні і неістотні;

- визначаються можливості збору інформації для експериментування і реальних дій;

- складається перелік подій, які з певною вірогідністю можуть відбутися: встановлюється часовий порядок розташування подій, в результатах яких міститься корисна і доступна інформація, і послідовних тих дій, які можна зробити.

На другому етапі будується дерево рішень. Складаючи "дерево" рішень, потрібно намалювати "стовбур" і "гілки", що відображають структуру проблеми. Розташовуються "дерева" зліва направо. "Гілки" позначають можливі альтернативні рішення, які можуть бути прийняті, і можливі результати, що виникають в результаті цих рішень.

Результати можуть бути двох видів: «рішення» і «імовірнісні події». Вони представлені квадратами (рис.1).

Р ис.1. Складові частини дерева рішень

Оскільки особа, що приймає рішення, не може впливати на появу імовірнісних подій, їй залишається лише обчислювати вірогідність їх появи.

Коли всі рішення і їх результати вказані на "дереві", прораховується кожний з варіантів, і в кінці проставляється його результат. Всі витрати, викликані рішенням, проставляються на відповідній "гілці".

Сутність третього етапу полягає в оцінці вірогідності станів середовища, тобто зіставленні шансів виникнення кожної конкретної події.

Встановлення виграшів (або програшів, як виграшів із знаком мінус) для кожної можливої комбінації альтернатив (дій) станів середовища складають четвертий етап.

На п'ятому етапі розв’язується основне завдання – приймається рішення або що.

Дерево рішень складається з ряду вузлів і витікаючих з них гілок. Квадрати позначають пункти ухвалення рішень (або можливі події), а дуги відповідають переходам між логічно пов'язаними рішеннями і випадковими подіями. З вершини-рішення (квадратів) виходитиме стільки дуг, скільки є варіантів (альтернатив), вибір конкретної дуги (варіант рішення) здійснюється особою, що приймає рішення. З вершини—події також може виходити декілька дуг, але тут вже вибір здійснюється випадковим чином відповідно до заданої вірогідності окремих результатів.

Після того, як дерево рішення побудоване, воно аналізується справа наліво, тобто починати треба з останнього ухваленого рішення. Для кожного вирішення вибирається альтернатива з найбільшим показником віддачі (або з найменшими витратами). Якщо за ухваленням рішення слідує декілька можливих варіантів подій, то вибирається альтернатива з найбільшим передбачуваним прибутком (або з найменшою передбачуваною величиною витрат).

Всі завдання, що вирішуються за допомогою дерев рішень, можуть бути зведені до наступних трьох типів:

• опис даних, що містить їх характеристику;

• класифікація, тобто віднесення об'єкту до одного з наперед відомих класів;

• регресія, що встановлює залежність цільової змінної від незалежних (вхідних) даних.

Часто алгоритми побудови дерев рішень дають складні дерева, переповнені даними, мають багато вузлів і гілок, тому у таких випадках буває зручнішим розбити дерево на декілька дерев рішень.

Дерева рішень підтримуються програмними комплексами різних фірм: так система MiniSet містить візуалізатор дерев (TreeVisualizer) і візуалізатор правил (Rule Visualizer), спеціально для роботи з деревами рішень створені програмні системи Clementine (Integral Solution, Великобританія), SIPINA (Ліонський університет, Франція) і ін.

Приклад 1. Для фінансування проекту бізнесменові потрібно зайняти строком на один рік 15000 ф. ст. Банк може позичити йому ці гроші під 15% річних або вкласти в справу з 100%-вим поверненням суми, але під 9% річних. З минулого досвіду банкірові відомо, що 4% таких клієнтів позику не повертають. Що робити? Давати йому позику чи ні?

Рішення 1 (по таблиці доходів). Максимізуємо очікуваний в кінці року чистий дохід, який є різницею суми, отриманої в кінці року, і інвестованою на його початку. Таким чином, якщо позика була видана і повернена, то чистий дохід складе:

Чистий дохід = ((15000 + 15% від 15000) - 15000) = 2250 ф. ст.

Таблиця 1. Чистий дохід в кінці року, ф. ст.

Можливі результати	Можливі рішення			Вірогідність
	Видавати позику	Не видавати (інвестувати)
Клієнт позику повертає	2250	1350	0,96
Клієнт позику не повертає	-15000	1350	0,04
Очікуваний чистий дохід	1560	1350

Якщо банк вирішує видати позику, то максимальний очікуваний чистий дохід рівний 1560 ф. ст.

Рішення 2 (по "дереву" рішень). В даному випадку також використовуємо критерій максимізації очікуваного чистого доходу на кінець року.

Рис. 1. "Дерево" рішень для прикладу 1.

Далі розрахунок ведеться аналогічно розрахункам по таблиці доходів. Очікуваний чистий дохід в точках А і В обчислюється таким чином:

У точці А:

Е (давати позику) = {17250 х 0,96 + 0 х 0,04} - 15000 =

= 16500 - 15000 = 1560 ф. ст.

У точці Б:

Е (не давати позику) = {16350 х 1,0 - 15000} = 1350 ф. ст.

Оскільки очікуваний чистий дохід більше в точці А, то ухвалюємо рішення видати позику.

Приклад 2. Розглянемо ситуацію: банк вирішує питання, чи перевіряти конкурентоспроможність клієнта, перед тим, як видавати позику в розмірі 15000 ф.ст. під 15% (або вкласти кошти на депозит під 9% річних). Аудиторська фірма бере 80 ф. ст. за перевірку. В результаті цього перед банком встають дві проблеми: перша проводити або ні перевірку, друга — видавати після цього позику або ні.

Вирішуючи першу проблему, банк перевіряє правильність виданих аудиторською фірмою відомостей. Для цього обираються 1000 осіб, які були перевірені і яким згодом видавалися позики:

Таблиця - Рекомендації аудиторської фірми і повернення позики

Рекомендації після перевірки кредитоспроможності		Фактичний результат			Всього
		Клієнт позику повернув		Клієнт позику не повернув
Давати позику	735		15		750
Не давати позику	225		25		250
	960		40		1000

Яке рішення повинен ухвалити банк?

Рішення.

Етап 1. Побудуємо "дерево", вірогідність проставляється за даними другого.

Етап 2. Використовуючи дані таблиці, обчислимо вірогідність кожного результату:

Р (клієнт позику поверне; фірма рекомендувала) = 735/750 = 0,98;

Р (клієнт позику не поверне; фірма рекомендувала) = 15/750 = 0,02;

Р (клієнт позику поверне; фірма не рекомендувала) = 225/ 250 = 0,9;

Р (клієнт позику не поверне; фірма не рекомендувала)= 25/250= 0,1.

Етап 3. На цьому етапі зліва направо проставимо грошові результати кожного з "вузлів", використовуючи кінцеві результати, обчислені раніше. Будь-які витрати, що зустрічаються, віднімаємо з очікуваних доходів. Таким чином підраховуємо все "дерево", спираючись на раніше отримані результати. Після того, як пройдені квадрати "рішень", вибирається "гілка", яка веде до найбільшого з можливих при даному рішенні очікуваному доходу. Інша "гілка" закреслюється, а очікуваний дохід проставляється над квадратом рішення.

Спочатку подивимося на кухлі результатів В і С, що є наслідком квадрата 2 (чи видавати позику клієнтові?)

Дохід, очікуваний від результату В:

Рис.2. "Дерево" рішень для банку з урахуванням аудиторської перевірки

Е (В) = 17250 ф. ст. х 0,98 + 0 х 0,02 = 16905 ф. ст.,

чистий очікуваний дохід NЕ (В) = 16905 - 15000 = 1905 ф. ст.

Дохід, очікуваний від результату З:

Е (С) = 16350 ф. ст. х 1,0 = 16350 ф. ст.,

чистий очікуваний дохід NЕ (С) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.

Припустимо, що ми зараз в квадраті 2. Максимальний очікуваний дохід 1905 ф. ст. в точці В, тому ухвалюємо рішення видати позику.

Ухваливши рішення, коректуємо "дерево", проставивши чистий очікуваний дохід 1905 ф. ст. над квадратом 2. "Гілка" - не давати позику - закреслюється. Те ж саме з точками результатів D і Е - результатами рішення 3.

Дохід, очікуваний від результату D:

Е(D)= (17250 ф. ст. х 0,9) + (0 х 0,1)= 15525 ф. ст.,

чистий очікуваний дохід NЕ (D) = 15525 - 15000 = 525 ф. ст.

Аналогічно для результату Е:

Е (Е) = 16350 ф. ст. х 1,0 = 16350 ф. ст.,

чистий очікуваний дохід NЕ (Е) = 16350 - 15000 - 1350 ф. ст.

Якби ми були в квадраті 3, то максимальний очікуваний дохід був би рівний 1350 ф. ст. і можна було б ухвалити рішення не видавати позику. Тепер скоректуємо цю частину схеми: над квадратом 3 пишемо чистий очікуваний дохід і ухвалюємо рішення видати позику.

Нарешті приступаємо до розрахунку точок результатів F і G, які є результатами рішення 4.

Е (F) = 17250 ф. ст. х 0,96 + 0 х 0,04 = 16560 ф. ст.;

NЕ (F) - 16560 - 15000 = 1560 ф. ст.;

Е (G) = 16350 х 1,0 = 16350 ф. ст.;

NЕ (G) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.

У квадраті 4 максимальний очікуваний чистий дохід складає 1560 ф. ст., і тому ухвалюємо рішення видати клієнтові позику. Сума 1560 ф. ст. надписується над квадратом 4, а альтернативна "гілка" перекреслюється.

Тепер повернемося до "вузлів" А і 1. Використовуючи очікувані чисті доходи над квадратами 2 і 3, розрахуємо математичне очікування для кружка А:

Е (А) = (1905 ф. ст. х 0,75) + (1350 ф. ст. х 0,25) = 1766 ф. ст.

Оскільки аудиторська перевірка коштує 80 ф. ст., очікуваний чистий дохід NЕ (А) = 1766 - 80 = 1686 ф. ст.

Тепер можна проставити значення першого рішення квадрата 1. Чи повинен банк скористатися аудиторською перевіркою? У цьому "вузлі" максимальне математичне очікування - 1686 ф. ст., тому перекреслюємо альтернативну "гілку".

Приклад 3. Керівництво компанії вирішує реконструювати фабрику — хімчистки по одному з трьох проектів. Розмір виграшу, який компанія може отримати, залежить від сприятливого або несприятливого стану ринку .

Таблиця проектів реконструкції

Номер стратегії	Дії компанії	Виграші, грн., при стані економічного середовища
		сприятливому	несприятливому
1	За 1-м проектом	150000	- 80000
2	За 2-м проектом	200000	-150000
3	За 3-м проектом	100000	- 40000

На основі даної таблиці виграшів (втрат) побудуємо дерево рішень (рис.3.)

Рис. 3. Дерево рішень без додаткового обстеження кон'юнктури ринку

Процедура ухвалення рішення полягає в обчисленні для кожної вершини дерева (при русі справа наліво) очікуваних грошових оцінок, відкиданні неперспективних гілок і виборі гілок, яким відповідає максимальне значення очікуваної грошової оцінки (ОДО). ОДО — це середній виграш в грі, яка розраховується як сума доданків розмірів виграшів на вірогідності цих виграшів.

Визначений ОДО: для 1-ої вершини

ОДО1 = 150000 • 0,5 + (- 80000) • 0,5 = 35000 грн.;

для 2-ої вершини

ОДО2 = 200000 • 0,5 + (- 150000) • 0,5 = 25000 грн.;

для 3-ої вершини

ОДО3 = 100000 • 0,5 + (- 40000) • 0,5 = 30000 грн.

Оскільки дійсна вірогідність сприятливого і несприятливого станів економічного середовища нам невідома, то відповідно до правила Лапласа рівноймовірності приймаємо наявність станів з вірогідністю 0,5 успіху і 0,5 невдачі.

З приведеного розрахунку бачимо, що найдоцільніше вибрати перший проект, а другу і третю гілки (стратегії) рішень можна відкинути. ОДО якнайкращого рішення дорівнює 35000 грн.

Але на цьому дослідження не закінчуються. Керівництву компанії стало відомо, що можна провести додаткове дослідження ринку, причому, послуга, що надається, обійдеться компанії в 12000 грн. Додаткове дослідження не здатне дати точної інформації, і допоможе уточнити очікувані оцінки кон'юнктури ринку, змінивши тим самим значення вірогідності.

Фірма, яка проводить додаткові дослідження, здатна уточнити значення вірогідності сприятливого або несприятливого результату. Можливості фірми у вигляді умовної вірогідності сприятливості і несприятливості ринку представлені в наступній таблиці.

Прогноз фірми	Фактично
	Сприятливий	Несприятливий
Сприятливий	0,81	0,19
Несприятливий	0,23	0,77

Наприклад, коли фірма стверджує, що ринок сприятливий, то з вірогідністю 0,81 цей прогноз виправдовується (з вірогідністю 0,19 можуть виникнути несприятливі умови), прогноз про несприятливість ринку виправдовується з вірогідністю 0,77.

Компанія замовила фірмі прогноз стану ринку і фірма стверджує, що ситуація буде сприятливою з вірогідністю 0,42 (дерево рішень зображене в середині мал. 6.8) і ситуація буде несприятливою з вірогідністю 0,58 (рис.4). При побудові дерева рішень розвиток подій походить від кореня дерева до результатів, а розрахунок прибутку виконується від кінцевих станів до початкових. З аналізу рішення виходить, що проведення додаткових досліджень кон'юнктури ринку істотно уточнює схвалюване рішення. Якщо фірма прогнозує сприятливу ситуацію на ринку, то доцільно проводити реконструкцію за другим проектом, якщо прогноз несприятливий — за третім проектом.

За відсутності точної інформації (верхнє дерево рішень) максимальна очікувана грошова оцінка рівна ОДО = 35000 грн.

Якщо точна інформація про дійсний стан ринку буде сприятливою (ОДО = 200000 грн.) приймається другий проект, якщо несприятливою (ОДО = - 40000) приймається третій проект. Тоді ОДО точної інформації рівна:

ОДО_ТИ = 200000 • 0,5 - 40000 • 0,5 = 80000 грн. і очікувана цінність точної інформації складе: ОЦ_{Т і} = ОДО_{Т і} - ОДО = 80000 - 35000 = 45000 грн.

Значення ОЦ_ТИ показує, яку максимальну ціну повинна бути готова заплатити компанія за точну інформацію про дійсний стан ринку в той момент, коли їй це необхідно.

Рис.4. Дерево рішень при додатковому обстеженні ринку