• пара кратных значений;

• 3 Близких собственных значения;

• нулевое собственное значение;

• малое ненулевое собственное значение.

Синтаксис:

R = rosser – формирует тестовую матрицу для классической симметрической проблемы собственных значений. Эта матрица была камнем преткновения для многих алгоритмов вычисления собственных значений. Только QR-алгоритм Франсиса, усовершенствованный Уилкинсоном и реализованный в системе MATLAB, позволяет справиться с указанной проблемой.

Пример:

>> R = rosser

R =	611	196	-192	407	-8	-52	-49	29
	196	899	113	-192	-71	-43	-8	-44
	-192	113	899	196	61	49	8	52
	407	-192	196	611	8	44	59	-23
	-8	-71	61	8	411	-599	208	208
	-52	-43	49	44	-599	411	208	208
	-49	-8	8	59	208	208	99	-911
	29	-44	52	-23	208	208	-911	99

имеет следующие точные собственные значения:

	10(1 + sqrt(10201))
	1020
	510 + 100sqrt(26)
	1000
	1000
	510 - 100sqrt(26)
	0
	-10(1 + sqrt(10201))

Графическое представление матрицы Рессера изображено на рис. 8

Рис. 8 Матрица Рессера

Матрица Теплица (Toeplitz matrix)

Матрица Теплица – диагонально-постоянная матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы, то есть выполняется соотношение: .

В общем виде матрица Теплица размера имеет вид:

Синтаксис.

T = toeplitz(c) – возвращает симметрическую матрицу Теплица, которая однозначно определяется вектором c;

T = toeplitz(c, r) – возвращает несимметрическую матрицу Теплица, первый столбец которой совпадает с вектором c, а первая строка с вектором r. Если первый элемент вектора c не равен первому элементу вектора r, то возникает конфликт на главной диагонали, предпочтение отдается элементу вектора c.

Пример.

>> c=1:4; T = toeplitz(c)

T =	1	2	3	4
	2	1	2	3
	3	2	1	1
	4	3	2	1

>> c=1:4; r=1.5:4.5; T=toeplitz(c,r)

 Column wins diagonal conflict. Столбец выигрывает конфликт на главной диагонали.

T =	1.0000	2.5000	3.5000	4.5000
	2.0000	1.0000	2.5000	3.5000
	3.0000	2.0000	1.0000	2.5000
	4.0000	3.0000	2.0000	1.0000

Создадим графическое представление этой матрицы (рис. 9):

>> pcolor(T)

>> contourf(T)

Матрицы Тёплица связаны с рядами Фурье, так как оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, представим такой матрицей.

Рис. 9 Графическое представление матрицы Теплица

Матрица Вандермонда (Vandermonde matrix)

Матрица Вандермонда – квадратная матрица следующего вида:

,

где

Определитель матрицы может быть вычислен как:

.

Можно легко заметить, что если для , то .