1. Числа и их классификация. Формулы сокращенного умножения.

Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

2. Множества, числа, функции.

Множество – базовое понятие, которое не определяется через другие понятия. Множества: конечные и бесконечные - множества всех чисел(натуральные, целые, рациональные, действительные)

Числовые множества: счетные – содержат числа, которые можно пронумеровать(1,2,3,4…) и несчетные.

Интервалы: открытые (0;1), закрытые [0;1], односторонне-открытые (0;1].

Окрестностью точки А называется открытый интервал с центром в точке А и радиусом Е.

Точка а называется внутренней точкой множества, если она входит в это множество с некоторой Е-окрестностью

Точка а называется граничной точкой множества, если в любой ее Е-окрестности содержаться как точки принадлежащие этому множеству(внутренние), так и точки ему не принадлежащие(внешние).

Замкнутым называется множество, состоящее из всех своих внутренних и граничных точек.

3. Алгебра множеств.

Объединением(суммой) двух множеств называется множество, которое состоит из всех точек множества А, всех точек множества В и всех их общих точек.

Пересечением двух множеств называется множество состоящее из точек, принадлежащих А и В.

Отображением множества Х множеством У называется правило или закон, по которому каждые точки множества Х ставят в соответствии множествам У.

Отображением на множестве вещественных чисел, называется функцией, при этом каждое х принадлежит Х, соответствует единственное значение у принадлежащий У.

4. Элементарные функции и их графики.

Функции, составленные из основных элементарных функций, называются элементарными, если удовлетворяют двум условиям: задаются одним аналитическим выражением в области определения; представляют результат конечного числа алгебраических операций и операций взятия функции от функции.

Элементарные функции разделяют на два класса: алгебраические и трансцендентные функции.

Функция называется алгебраической, если её значение можно получить, производя над независимой переменной конечное число алгебраических действий: сложений, вычитаний, делений и возведений в степень с рациональным показателем.

 Функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

К трансцендентным функциям относятся:

– показательная;

– логарифмическая;

– тригонометрические;

– обратно-тригонометрические;

– гиперболические 

5. Функция. Предел функции. Точки разрыва.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной   однозначно определяет значение выражения  , а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Функция является непрерывной в точке Х нулевое, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Все элементарные функции непрерывные.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждогоε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если   — значение функции   в точке  , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с  . На языке окрестностей условие разрывности функции   в точке   получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки   области значений функции  , что как бы мы близко не подходили к точке   области определения функции  , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки  . Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва.

6. Производная функции, ее смысл.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Механический смысл производной

Теорема.

Пусть задан путь   движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени   есть производная от пути   по времени  :

Пусть   — закон прямолинейного движения. Тогда   выражает мгновенную скорость движения в момент времени   Вторая производная   выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Вообще производная функции   в точке   выражает скорость изменения функции в точке  , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью 

Геометрический смысл.

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции   в точке  .

Производная функции  , вычисленная при заданном значении  , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси   и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой  :