6. Формула Пуассона: теорема, доказательство.

Ответ на вопрос:

Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний  . При больших значениях   пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.

Теорема.

 Если вероятность   наступления события   в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний   достаточно велико, то вероятность наступления события   ровно   раз приближенно равна

где  .

Доказательство.

Пусть даны вероятность наступления события   в одном испытании   и число независимых испытаний  . Обозначим  . Откуда  . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

При достаточно большом !!n,, и сравнительно небольшом !!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е.

Учитывая то, что   достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при  , т.е. найти предел

Тогда получим

7. Локальная формула Муавра-Лапласа: теорема, доказательство.

Ответ на вопрос:

Теорема

 Если вероятность появления события А в каждом из n  независимых испытаний равна одной и той же постоянной р=const (0<р<1), то вероятность   того, что во всех этих испытаниях событие А появится ровно k раз, приближенно вычисляется формулой:

, (4.8)

где:   ,  -- кривая Гаусса.

Доказательство

Для доказательства Теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:

(1)

где  . При больших   величина   очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде,

(2)

даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю, когда  .

Нас будут интересовать значения  , не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном   условие   будет так же означать, что

,   (3)

Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем

(4)

Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения

(5)

Переписываем полученное ранее биномиальное распределение с факториалами, заменёнными по приближённой формуле Стирлинга:

(6)

Предположим, что

(7)

Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

(8)

Располагаем члены этого разложения по степеням  :

(9)

Предположим, что при 

(10)

Это условие, как уже было указано выше, означает, что рассматриваются значения  , не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).

Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен

(11)

Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем:

(12)

Обозначив

(13)

Переписываем (12) в виде:

(14)

Где   — нормальная функция.

Поскольку в интервале   имеется только одно целое число  , то можно сказать, что   есть вероятность попадания   в интервал  . Из (5) следует, что изменению   на 1 соответствует изменение   на

(15)

Поэтому вероятность попадания   в интервал   равна вероятности попадания   в промежуток 

(16)

Когда  ,   и равенство (16) показывает, что нормальная функция   является плотностью случайной переменной 

Таким образом, если   то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой   — нормальная функция с   и  .

Таким образом, теорема доказана.