3.2. Вспомогательные построения и термины

1. Зависящий от времени вектор сопряжённых координат (вектор-функция множителей Лагранжа):

λ(t)=[ λ₁(t), λ₂(t), … , λ_n(t)]^T; (3.2.1)

2. Постоянный вектор множителей Лагранжа:

ν=[ ν₁, ν₂, … , ν_t]^T; (3.2.2)

3. Вспомогательные скалярные функции:

- гамильтониан задачи:

H[y(t), u(t), t]=f_o(y, u, t)+λ^Tf(y, u, t); (3.2.3)

- функция Лагранжа:

L[y(t_o), t_o, y(T), T, ν]=g[y(t_o), t_o, y(T), T]+ ν^Tω[y(t_o), t_o, y(T), T]; (3.2.4)

4. Система дифференциальных уравнений, сопряжённая к уравнению (3.1.1) и

определяющая изменение вектора λ(t):

(3.2.5)

5. С помощью функции H исходная система (3.1.1) записывается в виде:

(3.2.6)

Система уравнений (3.1.5) и (3.1.6) называется канонической или гамильтоновой системой дифференциальных уравнений, связанной с основной задачей.

3.3. Теорема «Принцип максимума»

Сформулируем теорему: пусть u_o(t), t [t_o, T] – такое допустимое управление, что соответствующая траектория y⁰(t) системы удовлетворяет (3.1.1) удовлетворяет краевым условиям (3.1.2).

Для оптимальности, в смысле, минимума критерия (3.1.3), управления u⁰(t) и траектории y⁰(t) необходимо существование такого ненулевого переменного вектора λ(t) и такого постоянного вектора ν, что выполняются следующие условия:

1) вектор функции u⁰(t), y⁰(t), λ(t) удовлетворяют гамильтоновой системе:

(3.3.1)

) функция H(t, y, u, ) переменного u(t) Ω_u при каждом t [t₀, T] (при фиксированных y^o, ) достигает при u = u⁰(t) минимума:

H[t, y^o(t), u^o(t), (t)] = min H[t, y^o(t), u^o(t), (t)], (3.3.2)

то есть оптимальное управление определяется как:

u⁰(t) = u⁰ [t, y(t), (t)] = arg min H[t, y(t), u(t), (t)]; u Ω_u ; (3.3.3)

3) сопряженные переменные и функция Гамильтона H[t, y^o, u^o, ] непрерывны вдоль оптимальной траектории;

4) при произвольных вариациях концевых точек t_o, y (t_o), T, (T) выполняются обобщенные условия трансверсальности:

[H – ^T ] (3.3.4)

где dL= + + +

Совокупность соотношений теоремы дают необходимые условия оптимальности

программного управления, которые позволяют из множества допустимых управлений и фазовых траекторий выделить те из них, которые могут быть оптимальными. Принцип максимума сводит исходную вариационную задачу к двухточечной краевой задаче для гамильтоновой системы. Применим теорему Л. М. Пантрягина для решения задачи оптимального программного управления n⁰(t).

4. Применение теоремы «Принцип максимума» для решения задачи

Запишем исходную систему в виде:

(4.1)

Для определённости применим критерий п. 4 раздела 3.3 в виде I= f₀ dt. Тогда можем записать выражение для гамильтониана задачи в следующем виде:

H[x(t), y(t), (t), n_y(t), (t), t] = 1+ ₁Vsin + ₂Vsin + . (4.2)

Лагранжиан задачи будет иметь следующий вид:

L = ν₁(x²(T) + y²(T) – + ν₂ (4.3)

Запишем систему, сопряжённую по отношению к исходной системе (4.1):

(4.4)

Запишем условия трансверсальности, являющимися краевыми условиями для гамильтоновой системы:

(4.5)

Запишем условия оптимального управления принципа максимума:

= arg min H(x, y, ₁, _{2, 3,} t) = n_y sign( ) (4.6)

Рис. 2.

Учитывая, что управление входит в гамильтониан линейно, и ограничения на каждую составляющую управления наложены отдельно, решение задачи нелинейного программирования можно записать в следующем виде:

n (4.7)

где - управление в особом режиме.

Для нахождения необходимо рассмотреть необходимые условия существования особого режима I и II порядков. Необходимые условия I порядка – это условие тождественного обращения в 0 всех производных функции переключения :

(4.8)

В дальнейшем в дифференцировании нет необходимости, поскольку явно зависит от .

Заметим, что соотношения (4.8) должны выполняться совместно только при ₁= ₂= ₃=0. Последнее выражение системы (4.8) может равняться 0, либо в случае, когда выражение в скобках равно, либо когда = 0. Первое невозможно, так как принцип максимума требует существования ненулевого вектора .

Поэтому, из (4.8) следует, что = 0. С учётом этого и (4.7) получим:

n (4.9)

Перейдём к рассмотрению необходимых условий существования особого режима второго порядка.

Он имеет вид:

(-1)^p ( ) 0, (4.10)

где P – порядок вырожденности задачи, в данном случае P = 1.

Из сказанного выше следует, что (4.10) может выполняться только в случае строгого знака неравенства, иначе оно будет противоречить условиям первого порядка. Поэтому окончательно (4.9) можно переписать в следующем виде:

n (4.11)

Используя принцип максимума исходная вариационная задача сводится к следующей двухточечной краевой задаче гамильтоновой системы:

(4.12)

Дальнейшее решение краевой задачи возможно численными методами (на этом возможности принципа максимума заканчиваются).

Учитывая особенности рассмотренной задачи оптимальное управление является кусочно-постоянным. Попробуем решить задачу аналитически, для чего исследуем движение системы на участках постоянства управления.