14. Процесс обслуживания как Марковский процесс. Уравнение Колмогорова – Чепмена.

П усть система может находиться в состояниях En, где n = 0,1,2,… - в системе находится n заявок. Обозначим вероятность нахождения системы в конкретном состоянии En’ в момент времени t через Pn(t). Очевидно, что для каждого t.

Если переход из состояния En в En’ зависит только от этих состояний и не зависит от предыдущих Ei, то такая последовательность во времени будет марковским процессом.

То есть случайный процесс в протекающей системе называется марковским (или процессом без последействия) если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t0) зависит только от настоящего (t=t0) и не зависит от состояния системы в прошлом (t<t0).

Таким образом, система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова. Каждой паре состояний En,En’ можно поставить в соответствие условную вероятность Pnn’ того, что система находится в состоянии n’ в момент t+1 при условии, что в момент t она находилась в состоянии n.

Очевидно, что для вероятности Pn’(t+1) можно написать

ф ормула Калмагорова – Чепмена.

Это уравнение означает, что система может оказаться в состоянии n’ путем одного из многих n несовместных переходов. Причем вероятность нахождения системы в состоянии n’ при условии, что ранее система находилась в состоянии n, по формуле произведения вероятностей событий равна Pn(t)Pnn’. Если Pnn’ равна нулю, то переход из состояния n в n’ невозможен.

15. Общее правило составления уравнений Колмогорова.

В левой части уравнения стоит производная вероятности i-го состояния; в правой части - сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го) состояния.

Построим по этому правилу систему дифференциальных уравнений

После преобразований получаем

.

Эти уравнения могут быть решены при начальных условиях

_Pn0(0)=1,

_{Pn(0)=0, n=\n0 (не равно)}

частотными методами с использованием преобразования Лапласа.

Чаще интересуются установившимся или стационарным режимом, для которого справедливо dPi(t)/dt=0

В этом случае система дифференциальных уравнений преобразуется в систему линейных уравнений:

_{0 =-λP0+µP1}

_{0=λP0+µP2-( λ+µ)P1}

_{0= λPn-1+µPn+2 - ( λ+µ)Pn}

отсюда P1=λP₀/µ, P₂=P₀(λ/µ)^2, P_n=P₀(λ/µ)^n

Учитывая, что получаем =>

Параметр выражает степень насыщения в системе и называется загрузкой или коэффициентом использования СМО. Для одноканальных СМО при ψ>1 установившегося режима не существует, очередь растет неограниченно.

Установившийся режим не зависит от начальных условий. Получим некоторые числовые характеристики установившегося режима.

16. Одноканальная смо с ожиданием.

Пусть имеется одноканальная система с простейшим потоком на входе с интенсивностью λ и экспоненциальным временем обслуживания с показателем µ(M/M/1/∞). En - состояние системы, когда в ней находится n заявок. За момент времени dt может прийти одна заявка с вероятностью P1(dt)=λdt, ноль заявок с вероятностью P0(dt)=1-λdt, может быть обслужена одна заявка с вероятностью µdt и не обслужена ни одна заявка с вероятностью 1- µdt. Матрица переходов J будет выглядеть следующим образом

Е0 Е1 Е2 Е3

ВероятностьP00 определяется вероятностью отсутствия прихода заявок за время dt(P0(dt)). Вероятность Pn,n+1 определяется вероятностью прихода одной заявки (P1(dt)), а вероятность Pn,n-1 определяется вероятностью обслуживания одной заявки. Вероятность Pn,n определяется вероятностью составного события: заявка не придет и не будет обслужена.

Более компактно матрицу перехода можно представить в виде графа переходов, в котором вершины означают состояния системы, а дуги - вероятности переходов.

И з графа переходов могут быть получены дифференциальные уравнения для вероятности состояния, которые называются уравнениями Калмагорова.