7. Математическое моделирование программного поворота упругого звена манипулятора.

Рассмотрим задачу об управлении плоским угловым движением упругого звена манипулятора [1],[12] с вязкоупругим стержнем, внутреннее трение в котором учитывается по теории Фойгта.

7.1. Уравнение движения упругого звена манипулятора

Рассмотрим применительно к манипуляторам задачу об управлении плоским угловым движением дискретно-континуальной механической модели (рис. 4) с упругим стержнем, внутреннее трение в котором учитывается по теории Фойгта.

Рис. 4

Обозначим y*(z*,t*) – упругое смещение стержня от оси z*. Начало стержня жестко заделано в точке О₁ абсолютно жесткого вала 1 с моментом инерции J₀*. На другом конце стержня в точке О₂ закреплено абсолютно жесткое тело 2 с массой m₂* и моментом инерции J₂* (О₂ –центр массы m₂*). К телу приложен управляющий момент

,

где ₀* - задаваемый угол (входная функция);

₁^* - угол поворота тела 1;

П – оператор корректирующего устройства;

р^* - коэффициент усиления;

k

₀^* - коэффициент демпфирования;

точка означает дифференцирование по времени t^*

Учитывая малость деформации стержня, запишем полярный угол ^*(t^*) выходной точки О₂ гибкого стержня в виде :

,

где s – длина стержня. Причем |y*(s,t*)|=|y₁*(t*)|<<s и |y*(z*,t*)|<<s для z*[0, s].

Обозначим через L₁^*, L₂^*, N₂^* реакции стержня соответственно: моменты сил (L₁^*, L₂^*) и сила (N₂^*), приложенные к абсолютно жестким телам.

Уравнения движения КДС запишем, следуя механике Ньютона-Эйлера

ОДУ

УЧП

ГУ

УС

НУ

где ₀^*(t^*) – входная функция, ^*(t^*) – выходная функция,  - погонная плотность стержня, Е – модуль упругости (Юнга), J – экваториальный момент инерции поперечного сечения стержня, h – коэффициент внутреннего трения стержня по Фойгту.

Обозначим через  характерный прогиб стержня и введем безразмерные переменные и параметры:

- характерное время протекающих в системе процессов, t – безразмерное время;

, y₁- безразмерное упругое перемещение конца стержня;

y^*=y, y – безразмерный прогиб стержня;

z^*=sz, z – безразмерная координата поперечного сечения стержня.

,

Здесь ₀, ₁, ₂, p, J₀, J₁, J₂, m₂ , k₀, L₁, L₂, N₂,  – безразмерные значения соответствующих размерных переменных и параметров.

Перепишем уравнения движения КДС в безразмерной форме

ОДУ

УЧП

ГУ

УС

НУ

Обозначая малый параметр задачи вводя быстрое время и медленное время , полагаем входную функцию в форме

Следуя методу многих масштабов, представляем реакции рассматриваемой динамической системы в виде асимптотических разложений

Повторяя приведенные в предыдущих разделах рассуждения, получаем уравнение нулевого приближения полярного угла программного движения выходной точки упругого звена манипулятора

(73)

и уравнения первого приближения движения упругого звена манипулятора относительно состояний подвижного равновесия нулевого приближения

(74)

Производя в системе уравнений (74) прямое интегральное преобразование Лапласа по быстрому времени

получаем систему уравнений упругого звена манипулятора первого приближения в изображениях. Повторяя рассуждения, приведенное в учебном пособии [1, стр.40-44], находим изображение полярного угла отклонения выходной точки упругого манипулятора от программного движения нулевого приближения (73) в форме

(75)

,

,

.

Задаем теперь программный поворот упругого звена манипулятора в форме линии подвижного равновесия

(76)

Введем принятые в (76) значения

в формулы (75)

. (77)

Как видно здесь есть изображение переходной функции системы с передаточной функцией , а есть изображение импульсной переходной функции системы с передаточной функцией . Следовательно, динамическая ошибка упругого звена манипулятора в режиме программного поворота (76) на промежутке вычисляется по формуле

(78)

Так как есть время окончания программного поворота упругого звена манипулятора, которому соответствует значение быстрого времени , то обозначая и учитывая согласно (76)

получаем динамическую ошибку системы стабилизации упругого звена манипулятора после окончания программного поворота

. (79)

Далее полагаем линию подвижного равновесия программного поворота упругого звена манипулятора в форме

(80)

Вводя (80) в (75), получаем изображение ошибки стабилизации выходной точки упругого звена манипулятора относительно линии (80) подвижного равновесия

(81)

Следовательно

(82)