2. Асимптотические разложения по методу многих масштабов.

Так как прогиб стержня значительно меньше его длины , в качестве малого параметра полагаем

.

Следуя методу многих масштабов [4], введем в рассмотрение быстрое время и медленное время . Полагаем входную функцию и возмущающий момент в форме

. (9)

Реакции комбинированной динамической системы (4) – (8) представляем в виде асимптотических разложений с погрешностью порядка

(10)

Легко проверить, что операторы первой производной и второй производной для функций (10) записываются в форме

. (11)

Определим далее асимптотическое разложение функции верхнего предела. Обозначим

(12)

По теореме о функции верхнего предела с погрешностью порядка имеем

.

Следовательно

. (13)

Подставляя (13) в (12), получаем

(14)

Аналогично для функции справедливо

(15)

Используя, теперь, операторы дифференцирования (11) и асимптотические разложения функций верхнего предела (14) и (15), находим асимптотические разложения приведенного в соотношениях (4) управления с ПИД - регулятором

Из этого равенства следует

(16)

При этом управляющий момент из соотношений (4) представляется по формуле Тейлора в форме асимптотического разложения с погрешностью порядка

Следовательно

, (17)

Заметим, что первые и вторые производные функций (10) по времени определяются как результат действия операторов (11) и представляются в виде асимптотических разложений с погрешностью . Например

Подставляя асимптотические разложения (9), (10), (11), (14), (15), (16), (17) в уравнения (4) – (8) и приравнивая множители при и в левых и правых частях полученных равенств, запишем уравнения КДС нулевого приближения

(18)

,

(19)

(20)

(21)

(22)

и уравнения КДС первого приближения

(23)

(24)

,

(25)

,

(26)

(27)