Критерии оптимизации, учитывающие экономические параметры.

Приведенные затраты

, (20)

где - капитальные затраты; - текущие затраты; - нормативный коэффициент.

Этот критерий используется для оценки различных вариантов технических средств и технологий.

Критерий себестоимости 1 метра бурения

, (21)

где - стоимость 1 часа эксплуатации буровой установки; - стоимость израсходованного породоразрушающего инструмента.

Этот критерий является комплексным показателем (учитывает затраты на эксплуатацию буровой установки, расход породоразрушающего инструмента, производительность работ). К его недостаткам можно отнести то, что он не учитывает оборачиваемость установки, ее годовую производительность и, как следствие, количество буровых установок для выполнения заданного объема работ в назначенные сроки. Поэтому режимы бурения, обеспечивающие снижение себестоимости 1 метра бурения, могут привести к уменьшению скорости бурения, потребности в дополнительных буровых установках и персонале и т.д.

При бурении алмазными долотами возможно использование критерия оптимизации по максимуму экономического эффекта, который достигается при скорости бурения

, (22)

где - стоимость долота без учета рекуперированных алмазов; - стоимость бурения 1 метра скважины.

СОСТАВНЫЕ КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

В области бурения скважин возможно использование и составных критериев оптимизации, например, вида

, (23)

где и - частные критерии оптимизации.

К использованию составных критериев оптимизации следует подходить с достаточной степенью осторожности, поскольку их применение может приводить к абсурдным результатам, если не учитывать ограничения, накладываемые на значения параметров. Так, при критерий оптимизации (23) стремится к бесконечности.

Для сравнения эффективности технических средств и технологических процессов бурения скважин может использоваться механический критерий, предложенный Б.М.Ребриком:

, (24)

где - энергия, затрачиваемая на бурение интервала или всей скважины; - продолжительность бурения.

Если известна средняя расходуемая мощность , то формула (24) примет вид

. (25)

Удельный механический критерий , отнесенный к 1 м бурения

, (26)

где - интервал бурения; - базовый интервал (обычно 1 м).

Критерии (24), (25) и (26) имеют существенный недостаток, связанный с недоучетом металлоемкости оборудования. Для его учета может применяться составной критерий вида

, (27)

где - совокупная масса оборудования.

При сравнении эффективности применения различных типов буровых долот и коронок используется критерий

, (28)

где - средняя механическая скорость бурения; - проходка на породоразрушающий инструмент до его полного износа. Этот критерий учитывает и производительность бурения, и проходку на инструмент. Поскольку проходка тесно коррелируется с параметром “стоимость”, то критерий (28) достаточно близок к критерию себестоимости 1 метра бурения (21).

Составной критерий оптимизации может быть выражен, в частности, в виде

, (29)

где - удельная работа, затрачиваемая на разрушение породы; - осевая нагрузки на породоразрушающий инструмент; - частота вращения; - расход очистного агента.

Вид зависимостей и от и приведены на рис. 1 и 2, из которых следует, что одного и того же значения и можно добиться при различных сочетаниях значений и .

Рис. 1. Вид зависимости механической Рис. 2. Вид зависимости удель-

скорости бурения от и . ной работы от и .

При эксплуатации нефтяных, газовых и скважин для водоснабжения может использоваться критерий оптимизации

, (30)

где - максимальное количество добытого полезного ископаемого; - суммарная стоимость строительства скважины и добычи.

Критерий (27) не учитывает продолжительность эксплуатации скважины и темпы снижения дебита. Часто этот критерий рассматривается за определенное время эксплуатации

. (31)

В некоторых случая целесообразно разделять на стоимость бурения и стоимость эксплуатации скважины и рассчитывать критерий для этих видов работ отдельно.

Одним из возможных критериев эффективности применяемого оборудования и технологий являются приведенные затраты на разведку:

, (32)

где - суммарная стоимость разведочных работ; - продолжительность разведки; - нормативный коэффициент эффективности; - капитальные затраты на разведку; - общий прирост запасов.

Сложность применения критерия (32) заключается в том, что запасы утверждаются по различным категориям и в разном объеме. Чтобы ввести некоторый обобщенный критерий, можно ранжировать значения запасов по различным категориям.

БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

В большинстве случаев приходится решать задачу по свертыванию в один отклик двух или нескольких критериев оптимизации. Трудности такой операции заключаются в том, что критерии имеют различный физический смысл и различную размерность.

Здесь на помощь приходят специальные приемы [1,4].

Рассмотрим случай, когда объект имеет n выходных параметров у_1, у₂...y_n характеризующий этот объект. Введем простейшее преобразование: составим шкалу из двух значений: 0 и 1.

.

Легко заметить, что, если один из преобразованных параметров оказывается равным нулю, то и обобщенный критерий также равняется нулю, т.к. не отвечает требованиям, предъявляемым к объекту.

Обоснование величины веса а, требует учета имеющегося опыта. Здесь приходится в основном опираться на опыт экспериментаторов. Часто такая формализация состоит в использовании метода экспертных оценок.

Построение обобщенного критерия оптимизации путем использования так называемых «шкал желательности» относится к психофизиологическим методам. В практике наибольшее применение получила шкала Харрингтона. В ее основе лежит идея преобразования натуральных значений выходных параметров у, в безраз­мерные величины шкалы - d:

«Шкала желательности» имеет интервал от нуля до единицы. Значение d=0 соответствует абсолютно неприемлемому уровню выходного параметра, а значение d=l - самому лучшему. Установлены следующие стандартные отметки шкалы (таблица 2.2)..

Таблица 2.2

Стандартные отметки по Шкале желательности

Желптельность	Отметка по шкале желательности, di
Очень хорошо	1,00 - 0,80
хорошо	0.80 - 0.63
удовлетворительно	0.63 - 0.37
плохо	0,37 - 0,20
очень плохо	0,20 - 0,00

Bмея набор значений di, d₂, d_}....d_n, можно перейти к нахождению обобщенного параметра оптимизации D, названного Харрингтоном обобщенной функцией желательности. Расчет ведется по формуле:

«Шкалы желательности» в разведочном бурении могут, например, использоваться для оценки работы буровой бригады по показателям производительности и качества выполняемых работ применительно к конкретным условиям производства и др.

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Методы принятия компромиссных решений широко применяются в практике оптимизации многокритериальных задач.

Рассмотрим сначала общие положения в решении таких задач. Сначала опреде­ляются критерии оптимизации в порядке их важности: W_t, W₂, .... W_n.

Будем считать, что каждый из них нужно обратить в минимум или максимум. Сначала найдем решения, обращающие в минимум (максимум) главный критерий оптимизации W_t.

В практике чаще приходится иметь дело не с одним, а с несколькими критерия­ми оптимизации, что существенным образом усложняет выбор оптимального решения. Такого рода многокритериальные задачи составляют предмет векторной оптимизации. Одним из подходов в решении таких задач является метод Порето [18]. Покажем это на примере.

Пусть имеются критерии оптимизации W, и W₂ , которые, например, желательно максимизировать. Заметим, что весьма просто перейти от максимума к минимуму. В результате эксперимента получены десять решений: х₁, х₂.......х₃, каждому решению соответствуют определенные значения W_t и W₂ (рис. 2.4). Очевидно, что из всего множества решений эффективными будут лишь решения х₁, х₄ и x₇.

Принцип Порето не определяет единственное решение, он только сужает число альтернатив.

Различают три основных подхода в принятии компромисса.

Аддитивные критерии предусматривают образование целевой функции путем сложения нормированных значений частных критериев. При этом следует оперировать не с «натуральными», а с нормированными частными критериями, представляющими собой отношение «натурального» частного критерия к некоторой норми­рованной величине, измеряемой в тех же единицах, что и сам критерий. Выбор величины нормированного показателя может быть обоснован в следующих двух подходах.

Первый подход предполагает принимать в качестве нормированного критерия некоторое значение, директивно заданное заказчиком. Слабым моментом является негласное предположение того, что такое заданное нормированное значение являет­ся оптимальным.

Второй подход предполагает принимать в качестве нормированного делителя некоторое максимальное значение, достигнутое в области принимаемых решений. Возможен еще один подход, когда в качестве нормированного делителя принимается разность между максимальным и минимальным значениями критерия в области компромисса.

Целевая функция оптимизации имеет вид:

,

где: с_i - весовой коэффициент г-го частного критерия;

F_i°(x) -i-ый нормирующий делитель;

F_i(X) - нормированное значение i-го частного критерия.

Функция (2.27)позволяет осуществлять компромисс, когда улучшение одного критерия компенсирует ухудшение значений других. Весовые коэффициенты учитывают различную значимость частных критериев. Определение весовых коэффициентов осуществляется на основании методов экспертных оценок и других формальных процедур и носит субъективный характер.

Другим недостатком аддитивных критериев является взаимная компенсация частных критериев. Например, значительное уменьшение одного из критериев вплоть до нуля может быть перекрыто возрастанием других. Ослабить этот недостаток можно, если ввести ограничения на минимальные значения частных критериев и их весовые коэффициенты.

Таким образом, функция (2.27) осуществляет компромисс, при котором ухудшение одних нормированных частных критериев компенсируется улучшением других. Составление аддитивных критериев выступает как формальный математический прием, обеспечивающий задаче удобный для решения вид.

Если аддитивные критерии основаны на использовании принципа справедливой компенсации абсолютных значений нормированных частных критериев, то мультип­ликативные критерии оперируют не с абсолютными, а с относительными измене­ниями значений частных критериев.

Что же следует считать справедливым компромиссом.

Справедливым следует считать такой компромисс, когда суммарный уровень относительного снижения значения одного или ряда критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других критериев.

Математическая формула условия оптимальности на принципе справедливой компенсации имеет вид:

где: ΔF, (х) - приращение i-го критерия;

F_i (х) - первоначальное значение i-го критерия.

Считая ΔF, (x)< F_i(х), представим (2.28) в виде дифференциала натурального логарифма:

Анализ выражения (2.29) позволяет сформулировать обобщенный мультипликативный критерий оптимальности:

Мультипликативный критерий образуется путем простого перемножения частных критериев.

В случае, когда параметры имеют различную важность, в них вводятся весовые коэффициенты с,:

Существенным недостатком данных критериев является субъективность в назначении численных значений весовых коэффициентов. Здесь следует руководствоваться опытом предыдущих исследований и др.

Мультипликативные критерии не требуют нормирования, но имеют недостаток, заключающийся в том, что они компенсируют недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого, сглаживают неравнозначные их первоначальные значения.

При рассмотрении сложных объектов и наличии большого числа частных критериев довольно трудно, а иногда и невозможно установить аналитическую взаимосвязь между ними.

Принцип максимильных критериев оптимизации основан на идее равномерного компромисса, когда стараются найти такие значения переменных Х=(х₁....х_n), при которых нормированные значения всех частных критериев становятся равными между собой:

Введение весовых коэффициентов важности трансформирует выражение (2.32) в соотношение:

Принцип максимина заключается в такой вариации переменных X, при которых последовательно повышаются нормированные параметры, численные значения которых в начальном положении оказались наименьшими. Это неизбежно приводит к снижению значений части остальных критериев.

При определенной повторяемости таких операций происходит выравнивание противоречивых частных критериев. Таким образом, принцип максимина формулируется следующим образом: необходимо выбрать некоторое значение Х⁰ Х, на котором реализуются максимум из минимальных значений частных критериев. Принцип выбора X⁰ иногда называют принципом гарантированного результата, заимствованным из теории игр [18].

При минимизации частных критериев f,(x) самым «слабым» критерием является тот, который принимает максимальное значение. Формулировка принципа равномерной компенсации имеет вид:

Принцип минимакса может интерпретироваться геометрически, когда каждый вариант объекта с п частными критериями представлен в пространстве Е_n в виде точки А¹, а множество вариантов может быть отображено в конечном множестве точек А, заключенных в выпуклую оболочку. Область принятия решений при этом ограничена выпуклой оболочкой S(A) в пространстве Еⁿ.