ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Ш. ЕСЕНОВ АТЫНДАҒЫ КАСПИЙ МЕМЛЕКЕТТІК ТЕХНОЛОГИЯЛАР ЖӘНЕ

ИНЖИНИРИНГ УНИВЕРСИТЕТІ

ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ТЕХНОЛОГИЯЛАР ИНСТИТУТЫ «ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМИ МАМАНДЫҚТАР» КАФЕДРАСЫ

Г.Р. КОЩАНОВА Э.Ҧ. УРАЗМАГАМБЕТОВА

МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ ПӘНІНЕН ДӘРІСТЕР ЖИНАҒЫ

Ақтау-2010

ӚӘЖ 51(072)

Құрастырған: Г.Р. Кощанова, Э.Ұ. Уразмагамбетова Математикалық модельдеу пәнінен дәрістер жинағы (Әдістемелік нұсқау). Ақтау: КМТжИУ, 2010, 67 б.

Пікір жазған: ф-м.ғ.к., профессор М.Н. Утебаев.

Әдістемелік нұсқауда математикалық модельдеу пәнінен дәрістер жинағы қарастырылған. Әдістемелік ңұсқау жоғары оқу орындарының студенттері мен оқытушыларына арналған.

Баспаға Ш. Есенов атындағы Каспий мемлекеттік технологиялар және инжиниринг университетінің оқу-әдістемелік кеңесінің шешімімен ұсынылған.

© Ш. Есенов атындағы КМТжИУ, 2010ж.

2

МАЗМҰНЫ

Алғы сӛз 4

1.Математикалық модельдеу. Модельдеудің негізгі кезеңдері 5

1.1 Математикалық модельдерінің ұғымы. Модельдеудің негізгі

кезеңдері 5

1.2 Сызықтық бағдарламалау есептерінің қойылымы. Есептердің математикалық

моделдерін құру 7

2. Сызықтық бағдарламалау есептері және оларды шешу әдістері.. 11

2.1 Сызықтық бағдарлама есебін графиктік әдіспен шешу 11

2.2 Сызықтық бағдарламалау есептерінің канондық түрі. Базистік

шешімдер 14

2.3 Сызықтық бағдарламалау есебін симплекс әдісімен шешу 18

2.4 Жасанды базис әдісі 23

3. Сызықтық бағдарламалаудың қосалқылық теориясы 25

3.1 Сызықтық бағдарламаның қосалқы есептері. Қосалқы есептердің негізгі

теоремалары. Графикалық әдіс 25

3.2 Қосалқы симплекс әдісі 34

4. Сызықтық бағдарламалаудың кӛлік есебі 36

4.1 Сызықтық бағдарламалаудың Кӛлік есебі. Кӛлік есебінің моделі. Кӛлік есебінің

алғашқы таяныш жоспарын құру. Солтүстік-батыс бұрыш әдісі. Минимал элемент

әдісі 36

4.2 Кӛлік есебінің оптимал шешімі. Потенциал әдісі 42

5. Бҥтін санды бағдарламалау 45

5.1 Бүтін санды бағдарламалау есептерінің жалпы сипаттамасы. Сызықты

бағдарламалау есептерінің бүтін санды шешімі. Гомори әдісі 45

6. Сызықтық емес, динамикалық бағдарламалау 49

6.1 Сызықтық емес бағдарламалау есептері. Стохастикалық программалау есептері.

Динамикалық бағдарламалау есептері 49

7. Ойындар теориясының модельдері 53

7.1 Ойындар теориясы туралы түсінік. Қосындысы нӛл болатын екі жақтың ойыны.

Шешуші нүктесі жоқ ойындарды шешу 53

8. Математикалық статистика негіздері 60

8.1 Сызықтық регрессия моделі 60

8.2 Ең кіші квадраттар әдісі 62

Пайдаланылған әдебиеттер 66

3

Алғы сӛз

Болашақ мамандар үшін қолданбалы математиканың ең маңызды салаларының бірі - математикалық модельдеу пәні: ол экстремалдық есептерді зерттеуге және олардың шешу әдістеріне арналған. Бұл пәнді оқу студентке қарапайым есептердің математикалық модельдерін құрастыруда алғашқы қадам жасауға, олардың математикалық қойылуы мен шешу әдістерін үйренуге мүмкіншілік береді. Бұл пән бойынша белгілі білім қорын жеткізіп және оларды қолдануға үйретіп қана қоймай, ол сонымен қатар математиканы оқып-үйрену үшін қажетті студенттердің логикалық ойлауын және математикалық мәдениетін дамытады.

Математикалық модельдеу пәні жалпы ғылыми пән болып табылады.

Бұл пән жоғары математика курсынан кейін оқылуға тиіс: бұл жерде сызықтық алгебра мен шектелген ӛлшемдегі кеңістіктегі дӛңес жиындар теориясының рӛлі аса маңызды. табысты меңгеру үшін орта мектеп кӛлеміндегі элементарлық математиканы, сондай-ақ қатар оқылатын жоғарғы және сызықтық алгебраны, аналитикалық геометрияны, математикалық талдау элементтерін, сандық әдістерді білу қажет.

«Математикалық модельдеу» пәнін оқытудағы мақсат:

Сызықтық және сызықтық емес бағдарлама есептерінің модельдерін құру, олардың максимум және минимум мәндерін табу, екіжақты, транспорттық, вариациалау және ойын теориясының есептерін шешіп, математикалық статистика элементтерімен танысып, кӛпшілікке қызмет ету жүйесінің модельдерін шешуге үйрену болып табылады.

4

1. Математикалық модельдеу. Модельдеудің негізгі кезеңдері

1.1 Математикалық модельдерінің ҧғымы. Модельдеудің негізгі кезеңдері Модель дегеніміз объектінің (жүйенің) белгілі бір ӛзара байланыстары бар және оның қызметі мен дамуын сипаттайтын элементтерт комплексінің шартты бейнесі. Модель үрдістің мағынасын жинақты түрде сипаттауға кӛмектеседі. Құрылған модельден зерттелетін үрдістердің мазмұнын кӛруге болады.

Математикалық модельдер. Математикалық модельдермен зерттелетін объекті мен үрдістің қасиеттері, ерекшеліктері және сипаттамалары теңдеулер жүйелері, теңсіздіктер және функция арқылы кӛрсетіледі.

Кӛптеген математикалық модельдер универсалды болып келеді, яғни әртүрлі жүйелерді зерттеуге қолданылады. Математикалық модельдер қарастырылатын құбылыстар мен үрдістердің сандық заңдылықтарын анықтауға, сипатталатын факторлардың тәуелділігі мен ӛзара байланысын табуға мүмкіндік береді. Математикалық модельдердің дамуына ӛте күрделі есептеулерді жүргізетін электронды-есептегіш машиналарының кӛбеюі зор ықпал етті.

Кӛптеген математикалық модельдер параметрлер мен айнымалылардан тұратын теңдеулер мен теңсіздіктер жүйелерінен тұрады. Айнымалы шамалар, мысалы, ӛндірілген ӛнім кӛлемі, капитал жұмсау, тасымалдау т.с.с., ал параметрлер ӛнімді ӛндіруге жұмсалған материал, уақыт, шикізат шығынының мӛлшерін кӛрсетеді. Әрбір модельде айнымалылардың екі тобын кӛрсетуге болады. 1) Сыртқы айнымалылар – олардың мәндері модельден тыс және берілген; 2) Ішкі айнымалылар, олардың мәндері берілген модельді зерттеу қорытындысында анықталады.

Модельдеу үрдісінің нақты алгоритмі жоқ, бірақ модельдеу тәжірибесінде басшылықққа алатын анықталған принциптер бар.

Математикалық модельдердің құрылымдық және функционалдық түрлері бар. Құрылымдық модельдер жүйелердің құрылымын және оның элементерінің ӛзара әсерін зерттейді. Функционалдық модельдер жүйенің ішкі құрылысына байланыссыз әртүрлі жағдайдағы тәртібін талдайды.

Құрылымдық модельді оқып үйрену үстінде объектінің мазмұнын туралы, оның сыртқы жағдайларға әсері туралы информацияларды алуға болады. Ал функционалдық модельді зерттегенде объектінің әртүрлі реакцияларының сыртқы ортаға әсері туралы деректер алуға болады. Сонымен қатар объектінің құрылымын талдауға және құрылымдық модельдерді құруға мүмкіндіктер туады.

Экономикалық-математикалық модельдер жүйе жағдайын болашақты жоспарлау мен болжауға пайдаланады. Мұндай жағдайда модель оның негізінде қойылған белгілі бір алғы шарттарға сәйкес экономикалық үрдістердің ағымын кӛрсетеді. Жоспарлау мен болжау модельдерінде алғышарттарды дұрыс таңдау ерекше маңызды роль атқарады. Модель есептің шарты дұрыс қойылған кезде ғана нақты жүйелердің құрылысы мен функциясын дұрыс сипатайды.

Экономикалық-математикалық модельдер сипаттаулы және оптималды болып бӛлінеді.

Экономикалық жүйелердің сипаттаулы моделі есептерді математикалық формула түрінде кӛрсетеді және жүйе жағдайы мен оның элементтерінің байланысын тереңірек ұғып үйренуге қолданылады. Мұндай модельдерге халық

5

шаруашылығы және экономикалық аудандардың салааралық байланысының матрицалық моделі жатады. Осындай типті есептің модельдері анықталған алғашқы мәліметтері бойынша бір ғана шешімі болады. Бұл модельдердің негізгі кемшілігі – ең тиімді (оптималды) шешімін іздейтін шарттың жоқтығы.

Оптималды модельдерде экономикалық есептің мағынасы математикалық формула түрінде жазылады және ең тиімді шешімі табылатын шарт функция түрінде кӛрсетіледі. Бұл модельдер белгілі бір алғашқы мәліметтер бойынша есеп шартын қанағыттандыратын кӛптеген шешімдер және оптималдықтың критерийіне сәйкес тиімді шешім алуға мүмкіндік береді. Мұндай модельдерге ӛндірістік программаны оптималдау, кесіп-пішуді оптималдау, қоспа компоненттерін оптималдау, кәсіпорынды орналастыруды оптималдау, кӛлік есептерінің модельдері жатады.

Оптималдық модельдердің кӛпшілігінде оптиалдықтың бір ғана критерийі қарастырылады.

Математикалық модельдерде сызықтық және сызықтық емес тәуелділіктердің әртүрлі түрлері қолданылады.

Математикалық модельдеу үрдісінің негізгі бӛлігі аппроксимация (жуықтау) – математикалық амалдарды (функция, теңдеу т.с.с.) басқа қарапайым шамалар арқылы жуықтап табу болып табылады. Аппроксимацияның кӛмегімен күрделі есептерді жай есептерге, сызықтық емес теңдеулерді сызықтық теңдеулерге келтіреді.

Модельденетін обьектінің белгілі бір уақытқа немесе уақыт аралығына сәйкес қасиеттерін сипаттайтын математикалық модельдер статикалық деп аталады. Үрдістердің белгілі бір уақыт аралығындағы ӛзгерістерін зерттейтін модельдер

динамикалық деп аталады.

Детерминистикалық (латынша determino – анықтау) модельдер дегеніміз барлық параметрлері және сыртқы айнымалылары бірге тең ықтималдықпен анықталатын модельдер.

Ықтималдық модельдерінде параметрлер мен сыртқы айнымалылар немесе олардың белгілі бір бӛлігі тиісті ықтималдықтың үлестіруімен сипатталады. Анықталмағандықты есепке алатын модельдерге ықтималдық теориясының заңдарын қолдануға болмайды.

Математикалық модель жасау процесі ӛзара байланысқан бірнеше кезеңнен тұрады. Бірінші кезең – есептің қойылуы. Бұл кезең зерттеудің мақсатын анықтаудан

басталады.

Мысалы, кәсіпорын үшін ӛнім ӛндіру немесе жүк тасымалдаудың оптималды жоспарын құру немесе берілген материалды кесіп-пішудің оптималды нұсқасын табу қажет т.с.с. Зерттеудің мақсатына сәйкес жүйелерді жан-жақты талдап, оның құрылымы мен қызметін, ерекшелктерін ескеру керек.

Жүйелерді модельдеген кезде модельге есептің шешіміне әсер ететін, яғни қойылған мақсатқа қол жеткізетін факторлардың енуі шарт.

Екінші кезең – таңдалып алынған жүйелерге математикалық модельдер құру. Бұл кезеңде есепті формула түріне келтіру – математикалық тәуелділіктерді теңдеулер, теңсіздіктер түрінде құру жүргізіледі.

Алдағы уақытта есептердің математикалық формула түрінде жазылған ӛрнектерін есептің моделі деп атаймыз.

Ҥшінші кезең – құрылған модельге сәйкес есептің шешімін алу.

6

Бұл кезеңнің негізгі есептерін қарастырайық. Біріншіден, модельге қажетті алғашқы ақпараттарды жинау, параметрлер мен сыртқы айнымалылардың сандық мәндерін анықтау қажет. Екіншіден, есептің шешімін алатын әдісті таңдап алу керек. Сандық экономикалық-математикалық әдістердің арасында кеңінен тарағандары симплекс әдісі және потенциал әдісі. Олар кӛптеген экономикалық есептерді шығаруға қолданылады. Бұл әдістермен шығаруға келмейтін есептер де кездеседі. Мұндай жағдайларда жүйелерді зерттеудің эвристикалық және имитациялық әдістері қолданылады.

Эвристика (грек сӛзінен – табамын, ойлап табамын, ашамын) – зерттеушінің интуициясы мен жүргізген тәжірибесіне сәйкес шешілетін әдістердің жиынтығы. Имитация – модельдеудің мүмкіндігін кеңейтетін жаңа бағыт болып табылады. Имитациялық модельдеуді нақты жүйелердің модельдеріне жүргізілген эксперимент ретінде түсінуге болады, ал жеке алғанда математикалық модельдеудің кӛмегімен алғашқы шарттарын ӛзгерте отырып жүргізілетін есептеу эксперименті.

Имитация (латынша - еліктеу) – жасанды құралдардың кӛмегімен бір нәрсені жаңадан ендіру немесе еске түсіру.

Тӛртінші кезең – модель бойынша алынған қорытындыны тәжірибеде қолдану. Математикалық әдістердің кӛмегімен алынған шешімдер талданып, белгілі бір аралықта алғашқы ақпараттарға тигізетін әсері тексеріледі.

Уақыттың ӛзгеруіне сәйкес алғашқы ақпараттар ӛзгереді, сол ӛзгерістердің алынатын шешімдерге тигізетін әсерін білу аса маңызды.