§1.2 Основні класи множин.

Нехай - довільна непорожня множина, .

Означення. Непорожній клас підмножини множини , , називається:

1. півкільцем, якщо , і ;

2. кільцем, якщо .

Зрозуміло, що кожне півкільце замкнуте відносно операції перетину довільної скінченної кількості множин із нього, тобто .

Кожне кільце містить порожню множину і воно замкнуте відносно операцій перетину двох множин із нього та утворення симетричної різниці двох множин, що випливає із рівностей , , , де . Зрозуміло, що кільце замкнуте відносно обєднання та перетину довільної скінченної кількості множин із нього, тобто .

Очевидно, кожне кільце множин є півкільце множин, але не кожне півкільце є кільце.

Множина , , називається одиницею класу множин , , якщо .

Кільце з одиницею називається алгеброю множин.

Приклад 1. Сукупність , , всіх обмежених підмножин множини разом із порожньою множиною є кільце без одиниці, тобто не є алгебра множин.

Приклад 2. Якщо , то клас

піввідкритих паралелепіпедів

метричного простору разом із порожньою множиною утворює півкільце без одиниці, . Це півкільце не є кільце, оскільки ні операція обєднання множин, ні операція віднімання множин не є замкнутими в . Очевидно півкільця ,

являють собою сукупності відповідно всіх піввідкритих проміжків числової прямої та всіх піввідкритих прямокутників координатної площини разом із порожньою множиною.

Кільце , , називається -кільцем ( -кільцем), якщо воно замкнуте відносно операції обєднання (операції перетину) зчисленної сукупності множин із , тобто, якщо для кожної послідовності множин виконується .

Можна показати, що кожне -кільце є -кільце, але не кожне -кільце є -кільце. Очевидно, кільце із прикладу 1 є -кільце, що не є -кільцем.

Довільне -кільце ( -кільце) множин, що містить одиницю, називається -алгеброю ( -алгеброю) множин. Виявляється, що поняття -алгебри та -алгебри множин рівносильні (це випливає із законів де Моргана).

Приклад 3. Сукупність , , де - довільна множина, є -алгебра множин із одиницею .

§1.3 Породжені класи множин.

Нехай - довільний непорожній клас множин, . Можна показати, що існує єдине кільце , яке включає клас і яке включається в кожне інше кільце, що включає і включається в . Таке кільце називається мінімальним кільцем над класом або кільцем, породженим класом . Кільце можна означити також за допомогою рівності:

( - кільце),

оскільки перетин довільної сукупності кілець , , є кільце.

Аналогічно можна означити алгебру , -кільце , -алгебру , які породжені класом множин (які мінімальні над класом ). Зокрема, це можна зробити наступним способом:

, , ,

де , , є відповідно довільні алгебра, -кільце та -алгебра, що включають і включаються в .

Якщо - довільне півкільце, , то кільце , що породжене півкільцем , є сукупність усіх найможливіших множин , , які можна записати у вигляді , Наприклад, кільце , що породжене півкільцем усіх піввідкритих прямокутників із , є сукупність усіх найможливіших елементарних множин із , тобто множин, які являють собою скінченні об’єднання піввідкритих прямокутників із , які попарно не перетинаються (разом з множиною ).

Якщо - довільний метричний простір і - клас усіх відкритих множин цього простору, , то мінімальна -алгебра (G) над класом G називається -алгеброю борелевих множин цього метричного простору і позначається B , B ( G).

Можна довести наступні твердження:

1. Якщо , де - відкрита куля метричного простору , то B ;

2. Якщо F - клас усіх замкнутих множин метричного простору , то B (F) , де - замкнута куля цього простору;

3. Кожна одноелементна та кожна зчисленна множини точок метричного простору є борелеві множини;

4. Множини точок метричного простору зі стандартною метрикою , заданою на , є борелеві множини (належать B );

5. Якщо B - -алгебра борелевих множин метричного простору , то B §1.4. Функції, визначені на класах множин. Поняття міри.

Нехай - довільна непорожня множина і - довільний непорожній клас підмножин множини , . Позначимо . Будемо розглядати тут функції виду .

Означення 1. Функція , що визначена на класі множин називається на :

1. невід'ємною, якщо ;

2. скінченно-аддитивною, якщо

;

3. зчисленно-аддитивною або -аддитивною, якщо

(причому сума ряду може дорівнювати і );

4. скінченою, якщо ;

5. неспадною, якщо ;

6. -скінченною, якщо .

Очевидно, якщо і -скінченно-аддитивна функція на і , то 0.

Це випливає зі співвідношень .

Окрім того, як можна показати, якщо функція зчисленно-аддитивна на , то вона і скінченно-аддитивна на ,але не кожна скінченно-аддитивна функція є -аддитивна на .

Означення 2. Функція , називається мірою, якщо -півкільце множин і функція невід’ємна та -аддитивна на .

Зазначимо, що 0 для міри такої, що . Скрізь нижче розглядатиметься лише така міра на півкільці , для якої остання умова виконується.

Функція , що визначена на півкільці , , називається скінченно-аддитивною мірою, якщо вона невід’ємна і скінченно-аддитивна на .

Зрозуміло, що міра є скінченно-аддитивна міра, але не кожна скінченно-аддитивна міра є міра.

Ми будемо розглядати тут в основному міру, хоча деякі твердження, які будуть встановлені, справедливі і для скінченно-аддитивної міри.

Означення 3. Міра на півкільці називається -скінченною (скінченною), якщо функція є -скінченна (скінченна) на .

Приклад 1. Якщо - фіксована точка непорожньої множини , , , то функція така, що , коли , і , коли , для кожної множини , є міра на -алгебрі (на кільці) , причому вона скінченна.

Приклад 2. Якщо - півкільце всіх найможливіших обмежених півінтервалів в разом з порожньою множиною, , то функція така, що , і , є міра на , причому вона скінченна та -скінченна.

Приклад 3. Якщо - півкільце усіх найможливіших піввідкритих прямокутників із разом з порожньою множиною, , то функція така, що , , і , є скінченна та -скінченна міра на .

Основні властивості міри на півкільці , описуються наступними твердженнями:

а) (монотонність міри);

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д) .

На основі останньої властивості доводиться, що міра на півкільці є зчисленно-піваддитивна ( -піваддитивна) функція, тобто

.

Зрозуміло, що останнє твердження, а також властивості г), д), справедливі і для довільних скінчених сукупностей множин та із півкільця .