§3.6. Інтеграл Лебега по множині нескінченної міри.

Нехай -довільна непорожня множина і на -алгебрі , визначена -скінченна міра , причому . Тоді існує така послідовність множин , що

,

.

Кожна послідовність -вимірних множин, яка володіє вказаними вище властивостями, називається вичерпною послідовністю для множини .

Нехай на множині визначена -вимірна функція

Означення. Функція називається інтегровною за Лебегом ( -інтегровною або сумовною) на множині , якщо вона інтегровна за Лебегом на кожній -вимірній множині , і для кожної вичерпної для послідовності існує скінченна границя

. (1)

Вказана границя називається інтегралом Лебега від функції по множині і позначається тобто

.

Можна показати, що границя (1), якщо вона існує скінченна для кожної вичерпної послідовності , не залежить від вибору такої послідовності тобто, що сформульоване вище означення коректне.

Зауваження 1. Для функції , такої, що , коли , де -вимірна множина, , сформульоване вище означення інтеграла Лебега по множині , рівносильне означенню інтеграла Лебега по множині , яке було сформульовано раніше.

Зауваження 2. Зазначимо, що більшість тверджень, які були сформульовані для інтеграла Лебега по множині із скінченним значенням міри, , залишаються в силі і у випадку, коли .

Суттєва відмінність полягає лише в тому, що у випадку, коли , обмежена і -вимірна на множині функція не обов'язково повинна бути інтегровною за Лебегом на . Зокрема стала , не є інтегровною за Лебегом на множині , оскільки для довільної вичерпної для послідовності буде

.

Зазначимо також, що теореми Лебега, Фату, Б. Леві, які торкаються граничного переходу під знаком інтеграла Лебега, справедливі і у випадку, коли .

§3.7. Порівняння лебегового і ріманового інтегралів. Критерій інтегровності за Ріманом.

Зв'язок між інтегралами Лебега і Рімана встановлює наступне твердження.

Теорема. Якщо функція інтегровна за Ріманом на , то вона інтегровна також і за Лебегом на тобто

причому

де -міра Лебега на числовій прямій .

Зауваження. Можна навести приклади -вимірних та обмежених на функцій, які інтегровні за Лебегом на і неінтегровні за Ріманом на . Так відома функція Діріхле , така, що , якщо і , якщо , інтегровна за Лебегом на , як обмежена і -вимірна функція,однак ця функція не інтегровна за Ріманом на , оскільки нижня та верхня суми Дарбу для неї, які відповідають розбиттю ,

сегмента , мають вигляд

, , де

, ,

, і ,

де .

Сформулюємо критерій інтегровності за Ріманом в термінах міри.

Теорема. Для того щоб обмежена на функція була інтегровною за Ріманом на необхідно і достатньо, щоб значення лінійної лебегової міри множини всіх її точок розриву дорівнювало нулю, .

Приклад 1. Функція така, що при , інтегровна за Ріманом на , оскільки вона обмежена на і множина всіх її точок розриву -вимірна і .

Приклад 2. Вказана вище, функція Діріхле ,не є інтегровною за Ріманом на , оскільки вона розривна в кожній точці із , тобто для неї .

Зясуємо зв'язок між лебеговим та невласним рімановим інтегралами.

Теорема. Нехай функція визначена на проміжку , і задовольняє на ньому всім умовам, при яких можна вести мову про невласний ріманів інтеграл . Функція буде інтегровною за Лебегом на проміжку тоді і лише тоді, коли вона абсолютно інтегровна на за Ріманом у невласному розумінні тобто, коли існує невласний ріманів інтеграл

.

У випадку інтегровності функції за Лебегом на виконується

.

Приклад. Як відомо з курсу математичного аналізу, інтеграл Діріхле

збігається лише умовно, як невласний ріманів інтеграл, тобто

.

Тому функція така, що при і не є інтегровною за Лебегом на .