§3.3. Основні властивості інтеграла Лебега від довільної функції.

Скрізь нижче в цьому параграфі є -вимірна підмножина множини , на якій визначені функції .

Безпосередньо із означення інтеграла Лебега від довільної функції випливають наступні його властивості:

1. 

2. 

3. 

В справедливості властивостей 2),3) переконуємося на основі граничного переходу та відповідних властивостей інтеграла Лебега від простих функцій.

Спреведливі також властивості:

4)

Існує послідовність простих -інтегровних на невідємних функцій така, що , . Тоді , оскільки .

5)

Властивість доводиться на основі попередньої властивості.

6)

Це твердження випливає із властивостей 1),5).

7) , зокрема

,

.

8) Довільна функція є -інтегровна на -вимірній множині , такій що , і при цьому .

9)

.

10)

.

11) .

12) .

Якщо , то, згідно із попередньою властивістю . Якщо послідовність простих -вимірних і -інтегровних на функцій таких, що , то послідовність простих -вимірних і -інтегровних на функцій таких, що .

Оскільки , то переходячи в цій нерівності до границі при дістанемо .

Зазначимо, що сформульовані вище властивості справедливі і у випадку, коли .

§3.4. Сігма-аддитивність та абсолютна неперервність інтеграла Лебега.

Нехай є -інтегровна функція на множині . Тоді, як відомо, функція -інтегровна і на кожній -вимірній підмножині множини . З'ясуємо тут основні властивості функції

(1)

що визначена на сігма-алгебрі всіх -вимірних підмножин множини , . Справедливі наступні твердження.

1. Якщо і всі множини (їх зчисленна або скінченна сукупність) є -вимірні і попарно не перетинаються, а функція сумовна на , то вона сумовна на кожній множині і справедлива рівність

(2) причому ряд із правої частини збігається абсолютно.

Зазначимо, що сформульоване твердження називається властивістю -аддитивності інтеграла Лебега, оскільки рівність (2) можна записати у вигляді

.

2. Якщо і множини із попереднього твердження, , а функція сумовна на кожній множині причому ряд

збігається, то функція сумовна на множині і

.

3. Інтеграл Лебега (1), як функція множин, є абсолютно неперервна функція тобто, якщо функція сумовна на множині то

Із сформульованих тверджень випливає, що при невідємній і сумовній на функції функція , є також невідємна і -адитивна на тобто вона являє собою міру таку, що , коли .

§3.5. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

Покажемо, що граничний перехід під знаком інтеграла Лебега можливий при значно слабкіших умовах, ніж у випадку інтеграла Рімана.

Теорема Лебега (про граничний перехід).

Якщо послідовність сумовних на множині , функцій збігається майже скрізь на до функції , і існує сумовна на функція така, що майже скрізь на , то функція сумовна на і

(1)

тобто при вказаних умовах можливий граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

Перейшовши до границі при в нерівності дістанемо нерівність , справедливу майже скрізь на .

Звідси випливає -інтегровність функції на .

Задавши довільне число , розглянемо множини ,

.

Очевидно, . Оскільки із збіжності майже скрізь випливає збіжність за мірою, то при вказаних в теоремі умовах для довільного існує номер такий, що при .

Позначивши і враховуючи сказане вище, дістанемо

(2)

Із абсолютної неперервності інтеграла Лебега випливає, що

. (3)

Отже, якщо число вибрано так, що при заданому виконується (3), то

.

Оскільки числа довільні, то із попередньої нерівності випливає, що ,і, отже,

.

Наслідок. Якщо виконуються умови попередньої теореми окрім останньої і існує така стала , що майже скрізь на множині , то функція -інтегровна на і

.

Зауваження. Зазначимо, що твердження із попередньої теореми та наслідку із неї залишаються в силі, якщо умову збіжності майже скрізь на множині замінити умовою збіжності за мірою на .

Приклад. Оскільки послідовність збігається майже скрізь на до функції , і

, то

.

Теорема Фату. Якщо посліжовність функцій , що невідємні і -інтегровні на множині , збігається майже скрізь на до функції , , і , де , то функція -інтегровна на і

тобто в попередній нерівності можливий граничний перехід під знаком інтеграла.

Теорема Б. Леві. Якщо для послідовності сумовних на множині функцій виконується і

, де , то майже скрізь на існує скінченна границя

, функція сумовна на і

.