Теорія подібності

Теорія подібності – це вчення про наукове узагальнення експериментів. Методи теорії подібності лежать в основі процесів моделювання. Одним із основних принципів теорії подібності є виділення із маси явищ групи подібних явищ. Подібними називаються ті явища, для яких постійні відношення величин, що їх характеризують.

Умови подібності фізичних явищ:

1. подібні процеси повинні бути якісно однаковими, тобто вони повинні мати однакову фізичну природу і описуватися однаковим за формую запису диференціальним рівнянням;

2. для подібних процесів умови однозначності повинні бути однаковими в усьому;

3. однойменні визначаючі безрозмірні переміні подібних процесів повинні мати однакове числове значення.

Теореми теорії подібності:

1. Теорема Ньютона: подібні явища характеризуються чисельно рівними критеріями подібності. Ця теорема встановлює, які величини необхідно вимірювати при проведені експерименту, а саме необхідно вимірювати ті величини, які входять в критерії подібності.

Критерії подібності – це безрозмірні комплекси різнорідних фізичних величини, які отримані шляхом переформування диференційних рівнянь, що описують процес. Критерії подібності завжди мають фізичний зміст і являються мірою співвідношення між якимось двома ефектами, які є домінуючими для процесу, що розглядається.

2. Теорема Букінгема: розв’язком будь-якого диференційного рівняння, що описує процес, може бути представлений у вигляді залежності між безрозмірними комплексами, що отримані із цих рівнянь. Такі рівняння називають критеріальними. Ця теорема дає відповідь на питання, яким чином обробляти результати експериментів, що проводилися на моделях, тобто результати необхідно обробляти у вигляді функціональних залежностей між критеріями подібності.

3. Теорема Бухмана: подібні ті явища, які описуються однією і тією ж системою диференціальних рівнянь, і в яких зберігається подібність умов однозначності, тобто явища подібні тоді, коли їх визначають параметри подібності.

Рівняння подібності (критеріальне) конвективного переносу теплоти

Вище приведена система диференційних рівнянь описує складний процес конвективного теплообміну, для більшості випадків, які зустрічаються на практиці, ця система не має аналітичного розв’язку, тому не може бути використана для визначення чисельних значень коефіцієнту тепловіддачі. В розрахунковій практиці використовують критеріальне рівняння, які отримують методом теорії подібності. Розглянемо рівняння процесу теплообмінну на границі поділу двох середовищ. Поділимо в цьому рівнянні ліву частину на праву:

. Викреслимо в отриманому комплексі символи диференціювання, різниці та напрямку, замінимо орієнтований розмір п на неорієнтований та провівши скорочення Δt і Δτ отримаємо комплекс:

– число Нуссельта, яке характеризує інтенсивність тепловіддачі на границі розподілу двох середовищ і показує співвідношення між кількістю теплоти відданою тепловіддачі, та кількість теплоти проведену теплопровідністю. Запишемо рівняння енергії (або рівняння конвективного переносу теплоти) відносно однієї осі:

. Ділимо ліву частину на праву:

та . Викреслимо в отриманих комплексах символи диференціювання і символи порядку диференціювання, а також символи напрямку, тоді після скорочення:

– критерій Фур'є.

– критерій Пеклє.

Критерій Фур'є характеризує зв'язок між швидкістю зміни температурного поля, розмірами та фізичними характеристиками не стаціонарного температурного поля.

Критерій Пеклє характеризує відношення кількості теплоти поширеної в потоці рідини конвекцією і теплопровідністю. В більшості випадків критерій Пеклє представляють у вигляді двох критеріїв:

.

Перший критерій – критерій Рейнольдса характеризує режим руху рідини і показує зв'язок між інерційними та в'язкісними силами в потоці рідини, а критерій Прандтля характеризує поле теплофізичних величин потоку рідини.

.

У випадку коли теплообмін проходить в результаті природної конвекції, яка відбувається за рахунок різниці густин рідини в різних точках системи процес характеризується числом Архімеда:

, де ρ і ρ₀ – густини гарячої і холодної рідин, оскільки в теплових процесах різниця густин в різних точках системи викликає різниця температур теплої і холодної рідини, комплекс (ρ₀ – ρ)/ρ замінюємо на βΔt:

, де β – коефіцієнт об’ємного розширення, а Δt – різниця температур в різних точках системи. Критерій Грасгофа характеризує гідродинамічний режим потоку рідини в природніх умовах або в умовах вільної конвекції, яка відбувається за рахунок різниці густин нагрітої та холодної частин рідини. Критерій Грасгофа показує співвідношення між гравітаційними та в’язкісними силами в потоці рідини. Таким чином із системи диференціальних рівнянь отримали критерії:

f(Pe,Pr,Gr,Nu,F0,Ar)=0. Задача розв’язку цього рівняння знайти коефіцієнт тепловіддачі, тобто вона зводиться до пошуку критерія Нуссельта, тому що лише в ньому міститься α:

. Тоді для стаціонарного потоку ми можемо записати

Nu=f(Pe,Pr,Gr,F0,Ar), для вимушеного руху рідини можемо записати

Nu=f(Re,Pr). Якщо ж ми розглядаємо вільну конвекцію, тоді Nu=f(Pr,Gr).

Ці залежності відображаються у вигляді степеневих рівнянь. Наприклад, для вимушеного руху рідини, коли Re>10000:

Nu=0,021Re0.8Pr0.43.

Таким чином, теорія подібності дозволяє перетворити диференціальні рівняння в критеріальні, а експеримент дозволяє встановити взаємозв’язок між отриманими критеріями. Отже, теорія подібності дозволяє знайти коефіцієнт тепловіддачі. Недоліком теорії подібності є те, що необхідно експериментально знаходити взаємозв’язки між отриманими критеріями.