15. Системы линейных уравнений: основные понятия.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение

Система, не имеющая решений, назыв несовместной

Если система имеет единственное решение она определенная

Если система имеет бесконечное множество решений, она неопределенная

Решение системы- значит найти множество всех решений.

Множество всех решений системы называется общим решением

Эквивалентные системы имеют одно и то же общее решение

16. Методы решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса

Формулы Крамера

17. Совместность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

    1. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение

    2. Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее расширенной матрицы равен рангу ее матрицы А

18. Однородные системы линейных уравнений.

СЛУ называется однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны 0

Однородная система всегда совместна, т. к. всегда имеет нулевое (тривиальное) решение

Теорема. Однородная система имеет нулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных

Если ( с₁, с₂ … с_n) решение системы, то сущ К принадлеж R ( kc₁, kc₂ … kc_n) также явл решением системы

19. Неоднородные системы. Структура общего решения системы линейных неоднородных уравнений.

СЛУ называется неоднородной, если во всех ее уравнениях свободные члены не равны 0 или не все равны 0

20. Понятие линейного оператора.

Пусть даны два линейных пространства U,V

Если задано некоторое правило А, по которому каждому вектору u пространства U ставится в соответствие ед вектор V= A (вектор u) пространства V, то говорят, что задан оператор А, действующий U в V

Вектор v= A( u) назыв образом вектора u, а вектор u-прообразом вектора v/

Оператор А( вектор u) назыв линейным, если:

• Для любых 2 векторов u₁, u₂ пространство u

А ( вектора u₁ + u₂) = A( u₁) + A( u₂)

• Для любого вектора u из U и любого числа лямда

А( лямда вектор u)= лямда А ( вектор u)

21. Действия с линейными операторами.

Для лин оп определены операции сложения и умножения на число.

Суммой двух лин оп А₁ и А₂ назыв оператор ( А₁ +А₂) определяемый равенством

( А₁ +А₂) ( вектор х)= А₁( вектор х)+ А₂( вектор х)

Произведением лин оп А на число лямда назыв оператор лямда А, ОПР РАВЕНСТВОМ

(лямда А)(вектор х)= лямда( А(вектор х))

Произведением лин оп (А₁А₂) назыв оператор определяемый равенством

(А₁А₂) ( вектор х)= А₁ (А₂ ( вектор х))

22. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Ненулевой вектор х принадлеж Rⁿ назыв соб вектором лин оп А, если сущ такое число лямда, что А(вектор х)= лямда( вектор х)

При этом число лямда нызыв соб знач оператора А.

23. Линейная модель обмена.

Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые обозначим соответственно  , расходуются на покупку товаров.

Пусть  доля бюджета  , которую j–я страна тратит на закупку товаров у  -й страны. Введём матрицу коэффициентов  :

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне её (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство

Матрица (1) со свойством (2), в силу которого сумма элементов её любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для  -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

                                .                                                                (3)

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны её бюджет должен быть не больше выручки от торговли, а в силу условия (2)   или

                                                                              (4)

Таким образом, условия (4) принимают вид равенств:

                                     .                                                             (5)

Введём вектор бюджетов  , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:

                                                          .                                                                              (6)

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечает её собственному значению  , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Перепишем уравнение (6) в виде, позволяющем определить  :

                                                  .