1. Векторы. Линейные операции над векторами.

1. Любой упорядоченный набор действительных чисел (а₁, а₂, …, а_n) называется n-мерным вектором , =(а₁, а₂, …, а_n)

2. Линейные операции

   1. Сумма двух n-мерных векторов =(а₁, а₂, …, а_n) и =(b₁, b₂, …, b_n)

+ = (а₁₊ b₁, а₂₊ b₂, …, а_n+ b_n)

2. Разность векторов

- = +(- )

3. Произведение вектора на число k, k R

k =(kа₁, kа₂, …, kа_n)

2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Модуль вектора.

   1. =(а₁, а₂, …, а_n) и =(b₁, b₂, …, b_n)

( , )=а₁b₁ + а₂b₂ + … + а_nb_n

2. Свойства скалярного произведения

   1. ( , )=( , )

   2. (k , )=k( , )

   3. ( , + )= ( , )+( , )

   4. ( , ) 0, причем ( , )=0 тогда и только тогда, когда – нулевой вектор

1. Линейная зависимость векторов.

   1. Вектор называется линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …, а_s из Rⁿ, если ₁a₁+ ₂a₂+…+ _sa_s, где _{1, 2,}…, _{s R.} В этом случае говорят, что линейно выражается через векторы _{1, 2, s}

Система векторов _{1, 2,}…, _m называется линейно зависимой, если существуют такие числа _{1, 2, m,} не равные одновременно нулю, что

₁a₁+ ₂a₂ +…+ _ma_m= (1)

В противном случае векторы называются линейно независимыми

Иначе говоря, векторы _{1, 2,}…, _m линейно независимы, если из равенства (1) следует ₁= ₂=…= _m=0

4. Базис и ранг системы векторов.

   1. Система векторов называется базисом пространства Rⁿ называется базисом, если:

1. эта система линейно независима

2. всякий вектор пространства Rⁿ линейно выражается через векторы данной системы

Всякий вектор =(а₁, а₂, …, а_n) представим в виде:

= _{1 1} + _{2 2} +…+ _{n n},

то есть является линейной комбинацией векторов ₁, ₂,…, _n

Теорема. Линейно независимая система векторов пространства Rⁿ является базисом тогда и только тогда, когда число векторов равно n

Система векторов может иметь несколько базисов,

количество векторов в базисах должно быть одинаково;

число векторов базиса – ранг системы

5. Разложение вектора по базису.

Пусть система векторов

₁=(а₁₁, а₁₂, …, а_1n)

₂=(а₂₁, а₂₂, …, а_2n)

_m=(а_m1, а_m2, …, а_mn)

Является базисом и вектор разложен по этому базису

=х_{1 1} + х_{2 2} +…+ х_{m m}

Теорема. Разложение вектора по векторам базиса единственно

6. Матрицы: основные понятия.

   1. Матрица – произвольная система элементов совокупности К, расположенная в виде прямоугольной таблицы, содержащая m строк и n столбцов, называется (m, n) – матрицей или просто матрицей над множеством K

Общий вид (m, n) – матрицы

2. Матрицу, имеющую одну строку, называют просто строкой, а число её элементов – длиной строки

Матрицу, состоящую из 1 столбца, называют просто столбцом.