Принцип Даламбера для точки и механической системы
Пусть на материальную
точку с массой
действует система активных сил,
равнодействующую которых обозначим
,
и реакция связи
(если точка является несвободной). Под
действием всех этих сил точка будет
двигаться по отношению к инерциальной
системе отсчета с некоторым ускорением
.
Введем в рассмотрение величину
,
имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки.
Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим свойством: если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, т. е.
.
Это положение
выражает принцип
Даламбера для материальной точки.
Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно
второму закону Ньютона (
).
Рассмотрим теперь
механическую систему, состоящую из
материальных точек. Выделим какую-нибудь
из точек системы с массой
.
Под действием приложенных к ней внешних
и внутренних сил
и
(в которые входят и активные силы, и
реакции связей) точка будет двигаться
по отношению к инерциальной системе
отсчета с некоторым ускорением
.
Введя для этой точки силу инерции
,
получим
,
т. е. что
,
и
образуют уравновешенную систему сил.
Повторяя такие рассуждения для каждой из точек системы, придем к следующему результату, выражающему принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.
Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причем, это справедливо для сил, действующих не только на твердое тело но и на любую изменяемую механическую систему. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:
;
.
Введем обозначения:
,
.
Величины
,
представляют собою главный
вектор и главный момент относительно
центра О системы сил инерции.
В результате, учитывая, что геометрическая
сумма внутренних сил и сумма их моментов
относительно любого центра равны нулю,
окончательно получим:
;
.
В проекциях на координатные оси полученные равенства дают уравнения, аналогичные соответствующим уравнениям статики. Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач, надо знать выражения главного вектора и главного момента сил инерции.
Главный вектор сил инерции:
,
т. е. главный вектор сил инерции механической системы (в частности, твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.
Если ускорение
разложить на касательное и нормальное,
то вектор
разложится на составляющие
,
.
При вращательном движении вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс, главный момент сил инерции относительно оси Oz
(знак «–» указывает, что направление главного момента сил инерции противоположно направлению углового ускорения ε) .