Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Мерой инертности
при вращательном движении твердого
тела вокруг неподвижной оси является
осевой момент инерции
,
при этом ускорение характеризуется
угловым ускорением
.
Вращательное движение тела происходит
под действием вращающего момента внешних
сил
.
Тогда по аналогии с дифференциальным
уравнением поступательного движения
тела (по теореме о движении центра масс)
запишем равенство
.
Полученное уравнение
представляет собой дифференциальное
уравнение вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси. Оно показывает, что
при данном
,
чем больше
,
тем меньше угловое ускорение
,
и наоборот. Т. е. момент инерции тела
действительно является мерой инертности
тела при его вращательном движении, так
же, как и масса при поступательном.
Дифференциальным уравнением вращения пользуются обычно тогда, когда система состоит из одного вращающегося тела. Это уравнение позволяет:
1. По заданным
и
определять
вращающий момент
.
2. По заданным
внешним силам, приложенным к телу, по
начальным условиям
,
,
а также
,
находить уравнение вращения тела
.
Причем
может быть переменным и зависеть от
,
,
.
3. Определить
относительно оси вращения, зная
и
.
Кинетическая энергия механической системы. Теорема об изменении кинетической энергии системы
Кинетической
энергией системы называется скалярная
величина
,
равная сумме кинетических энергий всех
точек системы:
.
Кинетическая энергия является характеристикой и поступательного, и вращательного движений системы. является величиной скалярной и не характеризует изменение направлений движения частиц. Если под действием внутренних сил будут изменяться модули скоростей точек системы, то на влияют, как внешние, так и внутренние силы.
Вычислим кинетическую энергию для различных случаев движения.
1. Поступательное
движение. В
этом случае все точки тела движутся с
одинаковыми скоростями, равными скорости
центра масс. Следовательно, для любой
точки
и
(
- масса тела (системы)).
Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.
2. Вращательное
движение.
Если тело вращается вокруг какой-нибудь
оси, то скорость любой его точки
,
где
— расстояние точки от оси вращения, а
- угловая скорость тела.
.
- осевой момент
инерции тела.
Т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
3. Плоскопараллельное движение.
При плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.
.
Теорема. Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
.
Доказательство:
Если рассмотреть какую-нибудь точку
системы с массой
,
имеющую скорость
,
то для этой точки будет
,
где
и
- элементарные
работы действующих на точку внешних и
внутренних сил. Составляя такие уравнения
для каждой из точек системы и складывая,
найдем, что
или
Последнее равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Проинтегрировав обе части этого равенства в соответствующих пределах, получим
,
где
,
.
Теорема
доказана.
В общем случае
.
Но для абсолютно твердого тела
(неизменяемая система)
.
В этом случае теорема примет вид
.
В отличие ранее доказанных теорем теорема об изменении кинетической энергии в случаях, когда движущаяся система является неизменяемой, позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при идеальных, не изменяющихся со временем связях — и наперед неизвестные реакции внешних связей.
Теорема позволяет легко решать те задачи, в которых в число данных и искомых величин входят: 1) действующие силы; 2) перемещение системы; 3) скорости тел (линейные или угловые) в начале и в конце перемещения. При этом действующие силы должны быть постоянными или зависеть только от перемещений (расстояний).