Теорема об изменении количества движения механической системы
Количеством
движения системы называется векторная
величина
,
равная геометрической сумме (главному
вектору) количеств движения всех точек
системы:
.
(1)
В проекциях на оси
координат:
,
,
.
По определению радиуса-вектора центра масс
,
тогда
,
Или
.
(2)
Сравнивая (1) и (2),
находим
,
т.е. количество
движения системы равно произведению
массы всей системы на скорость ее центра
масс.
В проекциях на оси
координат:
,
,
.,
где
,
,
– проекции скорости центра масс системы.
Если тело или
система движется так, что центр масс
остается неподвижным (
),
то
.
При сложном движении тела
не будет зависеть от его вращательного
движения вокруг центра масс. Поэтому
количества движения можно рассматривать
как характеристику поступательного
движения системы (тела), а при сложном
движении – как характеристику
поступательной части движения вместе
с центром масс.
Теорема в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
Доказательство.
Рассмотрим систему, состоящую из
материальных точек. Для каждой точки
.
Просуммируем дифференциальные уравнения
всех точек системы
,
Итак
.
В проекциях на
координатные оси:
,
,
.
Теорема в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.
Доказательство.
Пусть при
количества движения системы равно
,
а при
–
.
Разделяя переменные в дифференциальной
форме теоремы и интегрируя левую часть
в пределах от
до
,
а правую от
до
,
получим
.
Теорема доказана.
В проекциях на координатные оси будет:
,
,
.
Доказанная теорема
тесно связано и теоремой о движении
центра масс. Действительно,
.
Тогда
,
т.е. по существу это две разные формы одной теоремы. Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например, силы давления друг на друга частиц жидкости). Также следует, что изменение количества движения системы вызывается только внешними силами. Поэтому систему надо выбирать так чтобы все или часть неизвестных сил сделать внутренними.
Следствия из теоремы (закон сохранения количества движения):
1. Если сумма всех внешних, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.
.
Тогда из
=>
2. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.
.
Тогда из
=>
Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить количество движения системы не могут.
Закон сохранения количества движения иллюстрируется многими примерами из техники. Так, при рассмотрении снаряда и орудия как одной системы, давления пороховых газов будет силой внутренней. Эта сила не может изменить количество движения, до выстрела равное нулю. Поэтому, сообщая движения снаряда вперед, давление газов одновременного сообщает орудию движение назад (отдача).
Если судно с гребным винтом и отбрасываемую им при работе воду вдоль оси винта рассматривать как одну систему, то силы взаимодействия винта и воды будут внутренними. Они не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому, отбрасывая массу воды назад, судно получает движение вперед так, что общее количество остается равным нулю, как и до начала движения. Аналогичный эффект достигается веслами греблями.
Ракеты быстро движется вперед за счет отбрасывания с большой скоростью продуктов горения.
Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению поступательной скорости одной части системы надо определить скорость другой части. В частности, этот закон широко используются в теории удара.