Теорема о моменте инерции тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса)

Теорема:. момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Д оказательство. Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx'y'z', а через любую точку О на оси Сх' — оси Oxyz, такие, что , (рис.). Расстояние между осями Cz' и Oz обозначим через . Тогда:

, .

Но, как видно из рисунка, для любой точки тела и , а . Подставляя эти значения , в выражение для и вынося общие множители и за скобки, получим

, (4)

т.к. для координаты центра масс и точка С является началом координат, то .

Из формулы (4) видно, что . Следовательно, из всех осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс.

Примеры.

С помощью этой теоремы определим момент инерции тонкого стержня относительно оси проходящей через его центр масс.

Решение. Проведем через конец А стержня ось Аz (см. рис. выше). Тогда по формуле (4) , где , . Следовательно,

.

Определить момент инерции цилиндра относительно оси , проходящей через его образующую (см. рис. выше).

Решение. По теореме Гюйгенса . В данном случае , . Подставляя эти значения, получим .

Дифференциальные уравнения движения механической системы.

Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой . Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через , а равнодействующую всех внутренних сил — через . Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики . Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет

(1)

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме (в них ).

Проецируя равенства (1) на какие-нибудь координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси.

Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том, чтобы, зная заданные силы и наложенные связи, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить в результате закон движения каждой из точек системы и реакции связей. Сделать это аналитически удается лишь в отдельных случаях, когда число точек системы невелико, или же интегрируя уравнения численно с помощью ЭВМ.

Теорема о движении центра масс

Теорема: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

.

Доказательство: сложим почленно левые и правые части (1). Тогда получим

(2).

Из определения радиуса-вектора центра масс . Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и замечая, что производная от суммы равна сумме производных, найдем или (3), где — ускорение центра масс системы. Так как по свойству внутренних сил системы , из равенств (2) и (3) окончательно получим , что и требовалось доказать.

Проектируя обе части равенства на координатные оси, получим:

, , .

Из этих уравнений видно, что решения, которые мы получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела. Таким образом, поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела.

Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

Следствия из теоремы:

1. Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно.

Если , то => .

2. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная.

Если , то => .

Оба следствия выражают собой закон сохранения движения центра масс системы. Из этого закона следует, что при отсутствии внешних сил, внутренние силы системы никогда не смогут изменить положение центра масс. Например, при движении по скользкой поверхности, когда внешние силы отсутствуют, внутренние силы не могут переместить рассматриваемое тело.