Моменты инерции тела

При поступательном движении тела мерой его инертности является масса, при вращательном движении – момент инерции твердого тела относительно оси.

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

. (1)

Т.к. квадрат расстояния от оси - ( ), то момент инерции относительно оси z

.

В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в (1), обратится в интеграл. Учитывая, что , где - плотность, - объем, получим

. (2)

Важным понятием является радиус инерции тела относительно оси, определяемый равенством .

О тсюда следует, что радиус инерции геометрический равен расстоянию от оси до той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Приведем формулы для осевых моментов инерции простейших тел:

1. Тонкий однородный стержень длиной и массой .

Вычислим его момент инерции относительно оси , перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис.). Направим вдоль АВ координатную ось . Тогда для любого элементарного отрезка длины величина , а масса , где — масса единицы длины стержня. В результате формула (2) дает

.

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом и массой .

Н айдем его момент инерции относительно оси , перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр (рис.). Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии , то формула (1) дает

. (3)

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой и радиусом относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом и массой .

Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси , перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис.). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. а). Площадь этого кольца , а масса , г де — масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (3) для выделенного элементарного кольца будет , а для всей пластины

.

Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции однородного круглого цилиндра массой и радиусом относительно его оси (рис. б).

4. Прямоугольная пластина, конус, шар:

а) сплошная прямоугольная пластина массой со сторонами и (ось х направлена вдоль стороны АВ, ось у — вдоль BD):

,

б) прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом основания R (ось направлена вдоль оси конуса):

,

в) сплошной шар массой М и радиусом R (ось z направлена вдоль диаметра):

.

Моменты инерции неоднородных тел и тел сложной конфигурации можно определять экспериментально с помощью соответствующих приборов.

Полярным моментом инерции называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до данного полюса:

.

Центробежными моментами инерции (или произведениями инерции) называют величины , , , определяемые равенствами:

, , ,

где — массы точек; , , — их координаты.

В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, в частности, при определенным образом выбранных осях Oxyz могут обращаться в нули.