Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки

Материальная точка называется свободной, если на неё не наложены связи. Связи это тела, ограничивающие перемещение точки. Из статики известно, что всякую материальную точку можно сделать свободной, если отбросить связи и заменить их реакциями.

1. Уравнения в декартовых прямолинейных координатах. Пусть имеем инерциальную систему отсчета Оxyz. Проецируя обе части равенства на оси координат, получим

, , .

Из кинематики известно, что , , . Тогда дифференциальные уравнения движения точки в прямолинейных декартовых координатах запишутся в виде:

, , .

2. Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника: Проецируя обе части равенства на оси , получим

, , .

Из кинематики , , . Тогда

, , .

Эти уравнения называются естественными уравнениями движения материальной точки.

Две задачи динамики

Первая (прямая) задача. Зная массу точки и уравнения ее движения , , , найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке.

Путь решения: , ,

, , ,

Вторая (обратная) задача. Зная силы, действующие на материальную точку, её массу, начальное положение и начальную скорость точки, определить уравнение движения точки.

Эта задача решается путем двукратного интегрирования системы уравнений

, , .

Шесть постоянных интегрирования определяются по начальным условиям:

.

Количество движения материальной точки. Импульс силы

Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на её скорость: , .

В проекциях на оси координат: , , . Направлен вектор так же, как и скорость , т.е. по касательной к траектории точки.

Элементарным импульсом силы называется векторная величина , равная произведению силы на элементарный промежуток времени :

.

Импульс любой силы за конечный промежуток времени вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных импульсов

В проекциях на координатные оси , , .

Импульс силы характеризует передачу материальной точке механического движения со стороны действующих на нее сил за данный промежуток времени.

Если , то , модуль ; .

Теорема об изменении количества движения точки

Теорема в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил.

Доказательство. Согласно основного закона динамики

, или , или . (1)

Теорема доказана.

Теорема в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Доказательство. Из (1) получим . Пусть движущаяся точка имеет в момент времени имеет скорость , а при — скорость . Интегрируя левую часть последнего выражения в пределах от до , а правую от до , получим

,

что и требовалось доказать.

Проецируя обе части доказанного равенства на какую-либо ось Ох, получим

.

Теорему об изменении количества движения точки можно использовать для решения, как первой, так и второй задачи динамики, когда в число данных и искомых величин входят действующие силы , время движения точки , её начальная и конечная скорость, причем силы должны быть постоянными или зависящими только от времени.