5. Сущность метода наименьших квадратов и применение его для проведения аналитического выравнивания

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции, или, иначе, тренда, является аналитическое выравнивание методом наименьших квадратов. Сущность МНК заключается в том, что подбирается уравнение, которое наиболее точно отражает характер изменения динамического ряда за изучаемый период (на практике можно использовать графическое изображение уровней ряда). Как правило, если явление развивается в арифметической прогрессии, то для выравнивания может использоваться уравнение прямой ,

где - выровненное по уравнению значение уровня тренда.

– условное обозначение времени – для упрощения расчетов обычно выбирается так, чтобы :

Для нечетного ряда:		Для четного ряда:
Годы	t	Годы	t
2007	-2	2006	-3
2008	-1	2007	-2
2009	0	2008	-1
2010	1	2009	1
2011	2	2010	2
		2011	3

При таком обозначении времени искомые параметры означают:

a₀ - средний уровень ряда динамики;

a₁ - средний абсолютный прирост (сокращение) за принятую единицу времени.

Согласно МНК, чтобы выполнялось условие минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выровненных , для нахождения двух неизвестных параметров надо решить систему из двух нормальных уравнений:

Если установлен нелинейный тип тренда, то выравнивание производят по полиному более высокого порядка, например, параболы второго порядка ,

где a₀ - выровненный уровень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета;

a₁ - средний за весь период среднегодовой прирост (сокращение), который изменяется равномерно со средним ускорением или замедлением, равным 2a₂.

a₂ - половина ускорения (замедления).

Согласно МНК для нахождения трех неизвестных параметров надо решить систему из трех нормальных уравнений:

Степень приближения выровненных значений к фактическим, т.е. целесообразность применения данной функции, оценивают по среднеквадратическому отклонению () и коэффициенту колеблемости . Чем они меньше, тем точнее данное уравнение отражает тенденцию ряда и именно его лучше всего использовать для прогнозирования.

Интерполяция и экстраполяция рядов динамики

Исследование динамики явлений, выявление и характеристика тренда дают основание для прогнозирования. Для расчета прогнозируемых показателей используется метод экстраполяции.

Под экстраполяцией понимается приблизительный расчет недостающего уровня за пределами исходного ряда динамики, то есть когда известны уровни, лежащие только по одну сторону от неизвестного. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, и в прошлое – ретроспективной. Обычно, говоря об экстраполяции, подразумевают перспективную экстраполяцию. Возможность применения этого метода обеспечивается тем обстоятельством, что общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпевают существенных изменений в будущем, т.е. достаточно устойчивы.

При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри исходного ряда динамики. Расчет недостающих уровней внутри однородного периода, когда известны уровни, лежащие по обе стороны от неизвестного, носит название интерполяции.

Для интерполирования наиболее часто применяется восстановление уровня на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с помощью аналитического выравнивания. Для экстраполяции чаще всего применяется аналитическое выравнивание по той или иной функции: чтобы получить «точечный прогноз» достаточно подставить в уравнение соответствующее периоду или моменту условное значение t.

В силу того, что развитие явлений претерпевает существенные изменения, и расчет значительно отдаленных уровней может привести к большим ошибкам, целесообразно строить краткосрочные прогнозы.

5