2. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции
Воспользуемся
методикой Фишера. Он показал, что при
величина
распределена
практически нормально с математическим
ожиданием
и
дисперсией
.
Тогда,
если
,
доверительная вероятность, а точки
–
границы критической двусторонней
области для стандартного нормального
распределения, то доверительный интервал
для случайной величины
записывается
в виде
,
обозначим его
.
Отсюда,
выполнив несложные алгебраические
вычисления (решив систему неравенств),
получим доверительный интервал для
коэффициента корреляции
:
,
где
решения уравнений
,
,
–
тангенс гиперболический.
И
тогда можно утверждать, что с доверительной
вероятностью
интервал
накрывает
истинное значение коэффициента корреляции
.
По
величине значений границ этого интервала
мы сможем формулировать утверждения
относительно тесноты статистической
связи между случайными величинами
и
.
О том, что эта связь существует, мы
утверждаем на основании проверенной
нами значимости коэффициента корреляции.
Экзаменационный билет № 12
1.Ошибка аппроксимации.
Оперируя со средними величинами возникают ошибки округления, кроме того имеет место отклонения фактических и расчетных значений результативного признака (у - ŷ) по каждому наблюдению. Отклонения (у - ŷ) несравнимы между собой, поэтому они берутся в процентах к фактическим значениям и представляют собой ошибку аппроксимации. Ошибка аппроксимации для каждого наблюдения имеет вид:
· 100%,
тогда
в целом средняя ошибка аппроксимации
находится как среднее арифметическое из индивидуальных ошибок:
=
· 100%.
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.
2. Корреляция во времени
Авторегрессионная (AR-) модель (англ. Autoregressive model) — модель временных рядов, в которой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого же ряда. Авторегрессионный процесс порядка p (AR(p)-процесс)- определяется следующим образом
где
—
параметры
модели (коэффициенты авторегрессии),
-постоянная
(часто для упрощения предполагается
равной нулю), а
—
белый
шум.
Простейшим примером является авторегрессионный процесс первого порядка -AR(1)-процесс:
Для данного процесса коэффициент авторегрессии совпадает с коэффициентом автокорреляции первого порядка.
Другой простой процесс — процесс Юла — AR(2)-процесс:
Экзаменационный билет № 13
1.{Q}Оценка значимости уравнения регрессии.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели. Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:
F
=
или F
=
. (15)
Фактическое
значение
-критерия
Фишера (15) сравнивается с табличным
значением
при уровне значимости
и степенях свободы
и
,
для парной линейной регрессии
.
При этом, если фактическое значение
-критерия
больше табличного, то признается
статистическая значимость уравнения
в целом и нулевая гипотеза отвергается.
2. Оценка и смысловое содержание коэффициентов регрессии
Оценка коэффициентов регрессии
Построим
оценку
для
вектора
так,
чтобы вектор оценок
зависимой
переменной минимально (в смысле квадрата
нормы разности) отличался от вектора 
заданных значений:
.
Решением
является (если ранг матрицы
равен
k+1)
оценка
(5)