§ 2. Геометрична інтерпретація множин. Операції на множинах, алгебра множин, доведення рівностей з множинами.

Множини можна зображати графічно за допомогою діаграм Венна, які запровадив 1881 р. англійський математик Дж. Венн (J. Venn). Універсальну множину позначають прямокутником, а всі інші множини — кругами в ньому.

Для заданої множини А можна розглянути множину всіх її підмножин, зокрема порожню множину ø і саму множину А.

Визначення 4.6. Множину, що позначають 2^А чи Р(А) називають множиною-степенем, чи булеаном множини А.

Для скінченної множини А множина 2^а містить 2^|/і! елементів.

Приклад 1. Нехай А = {0, 1, 2}. Тоді 2^А = {0, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0, 2}, {1, 2}, {0,1, 2}}. Ця множина містить 2³ = 8 елементів.

Будемо вважати, що всі розглядувані множини — підмножини якогось універсуму U. Для довільних множин А та В можна побуду побудувати нові множини за допомогою теоретико-множинних операцій:

Визначення 4.7.

Об’єднанням множин А та В називають множину A В = {х | (х є A) (х є В)};

Визначення 4.8.

Перетином множин А та В називають множину А В = {х\ (х є А) (х є В)};

Визначення 4.9.

Різницею множин А та В називають множину А\В = {х | (х є А) (х В)};

Визначення 4.10. Доповненням множини А називають множину = U\A, де U — універсальна множина

На рис. 4.1 подано діаграми Венна, які ілюструють операції над множинами.

Рис. 4.1

Теоретико-множинні операції задовольняють законам, даним у табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Назва закону	Формулюванння закону
1. Закон комутативності	а) А В = В А б) А В = В А
2. Закон асоціативності	а) А (В С) = (А В) С б) А (В С) = (А В) С

3. Закон дистрибутивності	а) А (В С) = (А В) (А С) б) А (В С) = (А В) (А С)
4. Закон подвійного доповнення	= А
5. Закон ідемпотентності	а) А А = А б) А А = А
6. Закони де Моргана	а) = б) =
7. Закони поглинання	а) А (А В) = А а) А (А В) = А
8. Закони тотожності	а) А U = А б) А ø = А
9. Закони домінування	а) А U = U б) А ø = ø

Говорять, що дві множини А та В не перетинаються, якщо вони не мають спільних елементів, тобто якщо А В = ø.

Для будь-яких скінченних множин А та В правдива рівність

|А В| = |А| + |В| - |А В| — частинний випадок принципу включення-виключення.

Доводити рівності з множинами можна різними способами. Нижче наведено приклади, що ілюструють способи доведення.

Спосіб 1. Цей спосіб ґрунтується на такій теоремі.

Теорема 1.

Множини А та В рівні тоді й лише тоді, коли А В та В А.

Приклад 2. Доведемо рівність множин, яка являє собою формулювання закону де Моргана = .

Припустимо, що х є . Тоді х А В звідки випливає, що х А чи х В.

Отже, х є чи х є , а це означає, що х є .

Ми довели, що .

Навпаки, нехай х є . Тоді х є чи х є ,звідки випливає, що х А чи х В. Це означає, що х А В, тобто х є .

Отже, .

Спосіб 2. Доведення рівності множин за допомогою законів логіки.

Приклад 3. Доведемо рівність = .

Послідовно перевіримо рівності:

= {х| х А В} = {х| ¬ (х є А В)} = {х |¬ ((х є А) (х є В))} =

= {х |(х А) (х В)} = {х | (х є ) (х є )} = {х | х є } = .

Спосіб 3. Доведення рівності множин за допомогою таблиць належності, які містять усі можливі комбінації належності елементів множинам (1 — елемент належить множині, 0 — не належить).

Приклад 4. Доведемо цим способом рівність = .

Доведення подано в табл. 4.2.

Таблиця 4.2 А	В	А В
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Стовпчики, які в табл. 4.2 відповідають значенням та , одинакові, отже та .

Спосіб 4. Доведення рівності множин за допомогою основних законів теорії множин (див. таблицю 4.1).

Приклад 5. Довести тотожність = ( ) .

Використовуючи закони де Моргана та комутативні (дав. таблицю 4.1), можна записати таку послідовність рівних множин:

= ( ) = за законом де Моргана 6а = ( ) = законом де Моргана 6б = ( ) = за законом комутативності 1б = ( ) .(за законом комутативності 1 а).