Екзаменаційний білет № 10

1. Множини. Способи задання множин, потужність множини.

Теорію множин, основи якої викладено в цьому розділі, у математиці називають наївною. Є й інші варіанти побудови теорії множин, наприклад конструктивний і формалістський, у яких поняття множини вводять інакше (у конструктивній теорії множин — означають). У нас поняття множини первісне, тобто неозначуване. Опишемо це поняття так:

Множиною називають будь-який набір певних відмінних один від одного об’єктів нашої інтуїції чи інтелекту, розглядуваних як єдине ціле.

Відповідно до цього опису вивчають не окремі об’єкти, а їх сукупності як певні утворення.

У математиці застосовують і такі синоніми терміна „множина”: система, клас, область, сукупність. Використовують також поняття „сім’я”, але ми вживатимемо його в іншому значенні.

Об’єкти, які утворюють множину, називають її елементами. Про множину говорять, що вона містить ці елементи. Якщо об’єкт а — елемент множини А, то пишемо а є А, а ні, то а А.

Множину можна задати переліком елементів А = { а_1,а_{2, ,}а_n}, навівши її елементи у фііурних дужках. Наприклад, множина А = {а, е, і, о, и\ містить елементи а, е, і, о, и й лише ці елементи. Множина не може містити двох однакових елементів, а порядок її елементів не фіксують. Для часто використовуваних множин є спеціальні позначення:

ø — порожня множина, яка не містить жодного елемента;

Z — множина цілих чисел, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...};

R — множина дійсних чисел;

N — множина натуральних чисел, N = {1, 2, ...};

N₀ — множина натуральних чисел із числом 0, N₀ = {0, 1, 2, ...}.

Можна задати множину, зазначивши спільну властивість всіх її елементів. Тоді множину А задають за допомогою позначення А = {х | Р(х)}, яке читають так: „А — це множина об’єктів х, які мають властивість Р(х)”.

Наприклад, А = {х | х є N₀, х < 7} — це множина {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Іноді замість вертикальної риски використовують дві крапки, тобто

А = {х: х є N₀, х < 7}.

Множина може бути задана рекурсивно вказівкою способу послідовного породження її елементів.

Визначення 4.1.

Дві множини А та В називають рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів. Рівність множин А та В записують як А = В.

Визначення 4.2.

Множину А називають підмножиною множини В, якщо кожний елемент множини А належить В.

У такому разі пишуть А В, причому може бути А = В.

Визначення 4.3.

Якщо А = В чи А = ø, то А називають невласною підмножиною множини В, а ні, то власною.

Для будь-якої множини А правдиве включення ø А Множини бувають скінченними й нескінченними.

Визначення 4.4.

Скінченною називають множину, для якої існує натуральне число, що дорівнює кількості її елементів. Множину, яка не є скінченною, називають нескінченною.

Визначення 4.5 Кількість елементів скінченної множини А позначають як |А| і називають потужністю.

Поняття потужності вводять і для нескінченних множин, але ми не будемо розглядати його.

Часто всі досліджувані множини являють собою підмножини якоїсь множини, називаної універсальною множиною, чи універсумом. Універсальну множину позначають як U.

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ № 11+12

1. Основні поняття теорії множин. Геометрична інтерпретація множин.(11 білет)

2. Операції на множинах(12 білет)