Вопрос 16 Деформации, напряжения, перемещения при кручении бруса с прямоугольным поперечным сечением.

Допущения, принятые для круглого вала, не могут быть приняты для стержня прямоугольного поперечного сечения. При кручении прямоугольного стержня отдельные точки поперечного сечения перемещаются вдоль его оси, и сечение перестает быть плоским. Происходит депланация поперечного сечения стержня.

Кручение стержней прямоугольного сечения значительно сложнее по сравнению со случаем стержня круглого поперечного сечения, и методы сопромата не подходят для расчета прямоугольных стержней на кручение.

Максимальные напряжения вычисляют по формуле

,

Максимальные напряжения вычисляют по формуле

,

где   – момент сопротивления при кручении. Коэффициент   зависит от соотно­шения сторон прямоугольника  .

Касательные напряжения в точках посередине коротких сторон выражаются через наибольшие напряжения  , где  .

Угол закручивания стержня находят по формуле  , где   называется моментом инерции при кручении. Коэффициент   зависит от соотношения сторон прямоугольника  .

Для стержней должны выполняться два условия:

      условие прочности  ;

      условие жесткости  .

Вопрос 17 Деформации, напряжения, перемещения при кручении бруса с тонкостенным замкнутым поперечным сечением.

Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно (на порядок и более) меньше других геометрических размеров (длиной срединной линии контура поперечного сече­ния и длины стержня).

Характер распределения напряжений по толщине тонкостенного стержня открытого профиля близок к равномерному а замкнутого профиля меняется по линейному закону. Откуда следует, что напряжения в поперечных сечениях открытого профиля практически не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом.

Наибольшее касательное напряжение в поперечном сечении стержня определяется по формуле

где А_ср – площадь сплошного сечения, ограниченного средней линией сечения; t_min – минимальная толщина стенки в сечении; Т – внутренний крутящий момент в сечении.

Формула

позволяет вычислить угол закручивания   стержня длиной l. Интегрирование производится по длине s контура сечения.

Если тонкостенный стержень имеет постоянную толщину стенки t, тогда формула 

принимает вид  

где S – длина контура сечения, отсчитываемая вдоль средней линии сечения.

Вопрос 18 Деформации, напряжения, перемещения при кручении бруса с тонкостенным незамкнутым поперечным сечением.

Вопрос 19 Расчет статически-неопределимых конструкций на кручение

Статически неопределимые задачи на кручение

Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему:

а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики;

б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи;

в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.

Рассмотрим решение статически неопределимой задачи на кручение.

Пример № 1

Построить эпюру крутящих моментов для вала постоянного по длине поперечного сечения, жестко защемленного обоими торцами и нагруженного скручивающим сосредоточенным моментом М (см. рис.), расположенным на расстоянии а от левого закрепления.

Решение.

Так как вал защемлен с двух торцов, то в обоих защемлениях возникнут реактивные опорные моменты М_А и М_В. Для их определения используем вначале уравнения статики. В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия:  , или

М_А+ М_В + М = 0.                                                         (1)

Уравнение содержит две неизвестные величины: М_А и М_В. Следовательно, данная задача является один раз статически неопределимой.

Рассматриваем картину деформации вала (рис. б). Видно, что взаимный угол закручивания правого торца относительно левого равен нулю. Угол поворота правого торца относительно левого может быть представлен в виде суммы углов закручивания отдельных участков вала.

Согласно формуле  , углы закручивания по участкам определятся следующим образом: для участка длиной а   для участка длиной b   где T_a и T_b – крутящие моменты на соответствующих участках вала. Суммарный угол закручивания по условию закрепления концов равен нулю, т.е.

(2)

Это и есть деформационное уравнение задачи. Преобразуем его. Применяя метод сечений, выразим крутящие моменты Т_а и Т_b:

Т_а = М_А ,    Т_b = М_В.

Подставив эти значения моментов в уравнение (2), и сократив полученное уравнение на постоянный множитель  , получим

.                                               (3)

Решая совместно уравнения (1) и (3), найдем

Знак «–» указывает на то, что истинное направление реактивных моментов противоположно выбранному первоначально. Вычислив реактивные моменты, строим эпюру крутящих моментов по известным правилам (рис. в).

Можно отметить следующую особенность эпюр крутящих моментов в статически неопределимых валах с  = const: суммарная площадь эпюры крутящих моментов равна нулю, что по существу предопределено уравнением (3). Если вал ступенчатый, то нулю должна быть равна сумма площадей эпюры крутящих моментов, отнесенных к моментам инерции сечений на соответствующих участках.