3.5 Аналiз фазової площин, отриманої чисельним методом

Для довгохвильового випадку методом Рунге – Кутта четвертого порядку в програмі Mathcad було отримано фазову площину.

На рисунку 3.4 показано типові траєкторії отриманого розв’язку на фазовій площині (площинi𝛷υ, де для різних початкових умов. З рисунку видно, що рухи системи симетричні відносно осі 𝛷. Кожна крива на фазовій плоскості є замкнутою траєкторією, що відповідає періодичному руху системи. Таким чином, в розглянутому випадку всі можливі рухи системи є періодичними відносно фази розв’язку.

Рисунок 3.4 - Фазова площина для довгохвильового випадку з наступними граничними умовами: 1) 2) , 3) 4)

ВИСНОВКИ

У даній роботі була розглянута ДНК Пейрара Бішопа – Доксуа -модель функціонування молекули ДНК, яка враховує, що молекула ДНК складається з двох полінуклеотидних кіл,та являє собою два кола дисків, пов'язаних один з одним поздовжніми та поперечними пружинами.

Показано, що для відомих з літератури значень параметрів молекули ДНК в даній моделі можливі перiодичнi рішення для довгохвильового наближення.

За допомогою чисельного методу (Рунге-Кутта 4 порядку) та загального рішення системи рівнянь руху моделі, знайденого аналiтичним методом, а саме – методом малого параметру, побудувано графік її рішення в програмі Mathcad. Як і слід було чекати графік, побудований за допомогою методу Рунге-Кутта, повністю збігся з графіком точного рішення, що вказує на достатньо високу точність аналітичного розв’язку.

Також було побудовано траєкторіi на фазовiй площині для даного випадку. З рисунка видно, що рухи системи симетричні відносно осі 𝛷. Кожна крива на фазовій плоскості є замкнутою траєкторією, що відповідає періодичному руху системи. Таким чином, в розглянутому випадку всі можливі рухи системи є періодичними відносно фази розв’язку.

Отримано закон дисперсії, що описує залежнiсть частоти системи вiд хвильового числа a.

СПИСОК ДЖЕРЕЛ ІНФОРМАЦІЇ

1. S. Flach, A.V. Gorbach. Phys. Rep. 1, 467 (2008).

2. S.V. Dmitriev. Letters on Materials 1(2) 78 (2011), (in Russian) [Дмитриев C.B. Письма о материалах 1(2), 78 (2011)].

3. М. Peyrard, A.R. Bishop. Phys. Rev. Lett 62(23) 2755 (1989).

4. T. Dauxois, M. Peyrard and A.R. Bishop. Phys. Rev. E 47(1) R44 (1993).

5. M. Peyrard, S.C. Lypez, G. James. Nonlinearity 21, 91 (2008).

6. J.L. Marin, S. Aubry. Nonlinearity 9,1501 (1996).

7. Бриллюэн Л., М. Пароди Распространение волн в периодических структурах. - М: Издательство иностранной литературы, 1959.

8. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. – М.: Мир, 1984, 535 с., ил.

РЕФЕРАТ

МОДЕЛЬ ПЕЙРАРА – БИШОПА- ДОКСУА, ДЛИННОВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ, МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА, МЕТОД РУНГЕ – КУТТА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА, ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ.

Отчет о выполнении КР: 31 с., 5 рис., 8 источников.

Объект исследования: модель ДНК Пейрара – Бишопа – Доксуа.

Цель работы: исследовать на основе модели ДНК Пейрара – Бишопа следующий предельных случай – длинноволновое приближение (сверхнизкие частоты) и получить фазовую плоскость для данного случая. А также – получить решение уравнений движения модели в аналитическом виде и методом Рунге – Кутта четвертого порядка.

Методика исследований: решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка аналитическим методом – методом малого параметра и численным - методом Рунге – Кутта четвертого порядка.

В работе получены решения уравнений движения модели ДНК Пейрара – Бишопа- Доксуа для случая длинноволнового приближения, построены графики аналитического и численного решений.

Также построены траектории на фазовой плоскости для данного случая. Каждая кривая на фазовой плоскости является замкнутой траекторией, которая отвечает периодическому движению системы. Таким образом, в рассмотренном случае все возможные движения системы являются периодическими относительно фазы решения.

Получен закон дисперсии, который описывает зависимость частоты системы 𝜔 от волнового числа а.